Geben sie die vollständige Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems an

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das folgende LGS :

Erst sollte ich es auf ZSF bringen :

dann angeben, wie viele Lösungen es hat :

unendlich viele , da unterbestimmt(Unterbestimmtheit als Grund?)

Danach die Aufgabe , bei der ich um Hilfe bitte :

Geben sie die vollständige Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems an.

Wie kommt man auf :

Answer 1

wenn Du Dir die drei Gleichungen aus dem mittleren Bild anschaust, so steht in der dritten Gleichung:$$0 \cdot z = 0$$D.h. man kann für \(z\) jeden beliebigen Wert einsetzen und diese Gleichung ist immer erfüllt \(z \in \mathbb{R}\). In der zweiten Gleichung steht$$y+z=2$$Wenn man für \(z\) eine Zahl wählt, so legt man \(y\) damit fest. Es ist $$\implies y=2-z = 2 + (-1) \cdot z$$Bleibt die erste Gleichung$$x+2y+z = 1$$Wählt man wieder für \(z\) irgendeinen Wert, legt man damit \(y\) fest und damit auch \(x\). Es ist$$\implies x = 1-2y-z = 1-2\cdot(2-z)- z = -3+(1) \cdot z$$Jetzt schreibe ich alle drei Ergebnisse untereinander in der gewohnten Reihenfolge \(x\), \(y\) und \(z\)$$\begin{aligned} x &= -3 + &&(1) \cdot z \\ y &= 2 + &&(-1) \cdot z \\ z &= &&(1) \cdot z\end{aligned}$$oder eben als Vektorgleichung$$\vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} z, \quad z \in \mathbb{R}$$Gruß Werner

Answer 2

- 4·x - 8·y - 4·z = -4
2·x + 2·y = -2
- 2·x - 3·y - z = 0

Zunächst mal nur die Zeilen günstig multiplizieren

x + 2·y + z = 1
x + y = -1
2·x + 3·y + z = 0

Wenn du nun siehst das in der 2. Zeile eh ein z fehlt warum eliminierst du nicht auch das z in der 3. Zeile?

III - I

x + 2·y + z = 1
x + y = -1
x + y = -1

Die 3. Zeile ist abhängig von der 2. und kann gestrichen werden. Man enthält einen Freiheitsgrad y = y

x + y = -1 --> x = -y - 1

(-y - 1) + 2·y + z = 1 --> z = 2 - y

Damit kannst du schreiben

[x, y, z] = [-y - 1, y, 2 - y] = [-1, 0, 2] + [-y, y, -y] = [-1, 0, 2] + y·[-1, 1, -1]

Das kann man jetzt auch mit Parameter schreiben

X = [-1, 0, 2] + r·[1, -1, 1]

Answer 3

  Du hast doch immer

    " Allgemeine Lösung des  LGS  =   Sonderlösung +  Kern des LGS  "     (  1  )

    In diesem Sinne. ermitteln wir erstmal den Kern, wobei wir aber stets daran denken wollen, dass auch Gleichungen zu kürzen sind.

       x  +  2  y  +  z  =  0                                  (  1a  )

       x  +     y           =  0   ===>   y  =  -  x       (  1b  )

       y  aus ( 1b ) eingesetzt in ( 1a ) führt auf z = x , so dass du insgesamt den Kernvektor  wie üblich in primitiver Form kriegst

        Kern  =  (  1  |  -  1  |  1  )      (  2  )

    Jetzt fehlt allerdings noch die Probe auf ( 1c )

        2 x + 3 y + z =  2 x  -  3x  +  x  =  0   ;  ok       (  1c  )

   Jetzt brauchen wir aber gar nicht mehr die ganze Lösung des inhomogenen LGS  , sondern nur noch eine Sonderlösung.   Abermals gelingt es uns wie in  ( 1b ) , y zu eliminieren. Wenn es überhaupt eine Lösung ( x  |  y  |  z  ) gibt ,  so auch  immer eine mit y = 0  - wie das?  Vgl.  (  2  )

   (  x0  |  y0  |  z0  )  :=  ( x  |  y  |  z  )   +  y  *  Kern  =    (  3a  )

   =  (  x  +  y  |   0   |   y  +  z  )       (  3b  )

    D.h.    dein LGS schreibe ich nu noch mit zwei Unbekannten; und zwei Unbekannte lasen sich immer eindeutig lösen.

       x  +  z  =  1    (  4a  )

      x  =  (  -  1  )  ===>  z  =  2        (  4b  )

    Und jetzt die Probe  auf  ( 4c )

      2  x  +  z  =  2  *  (  -  1  )  +  2  =  0    ;   ok     (  4c  )