Greifvögel Exponentialfunktion

Question

Aufgabe: In einem Waldgebiet leben zwei Arten von Greifvögeln. Die Population der ersten Art wird durch f(t)=10t+50 beschrieben, die zweite durch g(t)=100*e^-t

a.) Zeichnen Sie den Graphen von f(t)+g(t). Zeichnen Sie auch die Gesamtpopulation h(t)= f(t)+g(t)

b.) Beschreiben Sie die Entwicklung der Population f,g und h

c.) Bestimmen Sie angenähert, wann f und g gleich groß sind.

d.) Berechnen Sie das Minimum von h

Comments

Wo ist dein Problem?

c) Newtonverfahren oder graph. Lösung

d) h'(x) = 0

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Sobald ich für die Teilaufgabe c die beiden Funktionsgleichung f(t) und g(t) gleichsetze, kann ich t nicht auflösen. Wäre es möglich dass jemand das vielleicht versucht ? Ich habe es oft versucht aber es geht nicht auf :/

Answer 1

Das geht auch algebraisch nicht.

Kennst du ein Näherungsverfahren (Newton z.B.)?

Falls du die Lambert-Fkt. kennst:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=10t%2B50+%3D100*e%5E-t

Answer 2

c.) Bestimmen Sie angenähert, wann f und g gleich groß sind.

Weil du das zeichnen musst, darfst du diese Näherung wohl am Graphen ablesen.

Algebraisch lässt sich die Gleichung nicht nach t auflösen.

Answer 3

  Noch heute bin ich dem User dankbar, der mir die ===> Lambertsche W-Funktion erklärt hat; das Internet  bordet förmlich über von W_Übungen.

  "  W  "  gehört nichtmal zum Curiculum von Studenten.  So weit mir bekannt, kann auch kein TR  "  W  "  , weil diese Funktion nichts Periodisches hat.

     10  t  +  50  =  100  exp  (  -  t  )      |     :  10      (  1a  )

     Auch Gleichungen sind  durch ihren ggt zu kürzen; das wird immer wieder vergessen.

                t  +  5  =  10  exp  (  -  t  )      |    *   exp  (   t  )          (  1b  )

   Analog der quadratischen Ergänzung suchen wir links ein vollständiges W zusammen zu bekommen;  als erstes müssen wir die e-Funktion mit der linearen Funktion in der Klammer zusammen bringen.

     (  t  +  5  )  exp  (   t  )   =  10  |   *  exp  (  5  )         (  2  )

    Im nächsten Schritt müssen wir Klammer und e-Funktion " gleichnamig " machen.  Was ist leichter;  die 5 aus der Klammer weg  zu machen oder sie in den Exponenten hinein zu bekommen?

       (  t  +  5  )  exp  (  t  +  5  )  =  10  exp  (  5  )   |    W      (  3a  )

       t  +  5  =  W  (  10  e  ^ 5   )   ===> t  =  W  (  10  e  ^ 5  )  -  5   (  3b  )

    (  3b  )  ist ein positives Ergebnis, weil ja

            W  (  5  e  ^ 5  )  =  5         (  4  )

Comments

  Und jetzt noch das Minimum , Teilaufgabe d)  Ableitung Null setzen

     10  -  100   exp  (  -  t  )  =  0     (  2.1  )

       exp  (  -  t  )   =  1/10  ===>    exp  (  t  )  =  10  ===>  t  =  ln  (  10  )      (  2.2  )

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Doch was bringt die Lambertsche W-Funktion, wenn man deren Funktionswerte auch nur numerisch bestimmen kann?

\(t=W(10e^{5})-5\)

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   "  Doch was bringt die Sinusfunktion, wenn man ihre Werte doch nur nummerisch bestimmen kann? "  Z.B. sin (  47.11  °  )

  "  Doch was bringt die Wurzelfunktion, wenn man ihre Werte doch nur nummerisch bestimmen kann? "  Z.B.   Wurzel  (  47.11  )

  "  Doch was bringt die Logarithmusfunktion, wenn man ihre Werte doch nur nummerisch bestimmen kann? "  Z.B. ln  (  47.11    )