Man hat n Kugeln, w weiße und n−w schwarze. Was ist die Wahrscheinlichkeit k weiße Kugeln zu ziehen?

Question

Aufgabe:

Man hat \(n\) Kugeln, \(w\) weiße und \(n-w\) schwarze. Was ist die Wahrscheinlichkeit \(k\) weiße Kugeln zu ziehen, wenn man \(s\) mal ohne zurücklegen zieht?

Problem/Ansatz:

Meine Grundmenge sind \(s\choose k\) Möglichkeiten, in denen \(k\) weiße Kugeln vorkommen. Nun kann man für jeden Fall die Wahrscheinlichkeit ausmultiplizieren und sieht, dass der Zähler immer \(w\cdot (w-1) ... \cdot 1 \cdot (n-w)\cdot (n-w-1)...(n-w-s+1)=\frac{w!(n-w)!}{(s-w)!}\) ist. Das ganze teilt man dabei immer durch \(n\cdot (n-1)\cdot(n-2)...(n-s+1)=\frac{n!}{(n-s)!}\)

Nun habe ich die Ideen zusammengebracht und als Lösung \(\frac{w!(n-w)!}{\frac{n!}{(n-s)!} (s-w)!}{s\choose k}\), was aber leider nicht stimmt. Wo ist mein Denkfehler?

Answer 1

Stichwort hypergeometrische Verteilung

P(genau k weiße kugeln) = (w über k)·(n - w über s - k)/(n über s)

Beachte das wenn dort einfach nur weiße steht mathemathisch mindestens k weiße gemeint ist. Es ist also von k bis n zu summieren.

P(mind. k weiße Kugeln) = ∑ (x = k bis s) ((w über x)·(n - w über s - x)/(n über s))