Primkörper Basen im Vektorraum

Question

Aufgabe:

Sei K=Fp ein endlicher Primkörper. Wieviele Basen a1,...,an im Standardvektorraum V=K^n gibt es? Betrachten sie dabei zunächst die Spezialfälle n=1 und n=2. Nutzen sie für den allgemeinen Fall die Bedingung aj kein Element von  ΣKai (wobei i<j)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie man hier vorgehen soll. Wenn n=1 ist, dass gibt es doch eine, und wenn n=2 ist 2 Basen??

Answer 1

Vgl und verallgemeinere meine Antwort aus:

https://www.mathelounge.de/554374/wie-viele-invertierbare-2x2-matrizen-mit-eintragen-in-gibt

Beachte die Äquivalenz

$$ v_1,...,v_n \in K^n \text{ Basis}\Leftrightarrow \begin{pmatrix}v_1&\dotsm&v_n\end{pmatrix} \in GL(n,K) $$

Für die Fälle n=1 und n=2:

n=1: Ein vom Nullvektor verschiedener Vektor ist immer linear unabhängig, wie viele solche Vektoren gibt es in \( K^1\)? Genauso viele Basen existieren auch.

n=2: Wird in der Antwort explizit erläutert.

Du verwechselst hier glaube ich "Anzahl der Basen" mit "Anzahl der Basisvektoren"