Die drei Erzeugenden von V sind lin. unabhängig,
(Kannst du dadurch bestimmen, dass du sie als Spalten
in eine Matrix schreibst und mit Gauss-Alg. feststellst:
rang=3)
bilden also eine Basis von V.
Bei W genauso.
Bei V+W schreibst du alle 6 in eine Matrix und
wendest Gauss an. Du erhältst Rang=5,
also ist U+W der ganze R^5 und eine
Basis etwa die Standardbasis.
Nach dem Dimensionssatz hat also V ∩ W die Dimension 1
und für eine Basis musst du einen Vektor ( ungleich 0)
finden, der in beiden ist. Ansatz also etwa
\( a \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0\\-1 \end{pmatrix} +b \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0\\1\end{pmatrix} +c \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\1\\1 \end{pmatrix} =d \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0\\1 \end{pmatrix} +e \cdot \begin{pmatrix} 0\\2\\1\\1\\0 \end{pmatrix} +f \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\1\\2\\-1 \end{pmatrix} \)
Da bekomme ich e und f frei wählbar, aber d=e+f also nehme ich mal
e=1 und f=1 also d=2 und bilde
\( 2\begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0\\1 \end{pmatrix}+1\begin{pmatrix} 0\\2\\1\\1\\0 \end{pmatrix}+1\begin{pmatrix} 1\\2\\1\\2\\-1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3\\4\\4\\3\\0 \end{pmatrix}\)
Das wäre ein geeigneter Basisvektor für den Durchschnitt. In der Tat lässt er
sich mit den Faktoren 3 1 3 auch in V darstellen.
