Übung zu Grundbegriffen der Topologie

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array} { l } { \text { Aufgabe } 1 . \text { Welche der folgenden Mengen ist offen in } \mathbb { R } \text { bezüglich der Standardtopologie? } } \\ { \text { (a) } \mathbb { Q } \quad \text { (b) } \mathbb { R } \backslash \mathbb { Q } \quad \text { (c) } \mathbb { R } \backslash \left\{ 2 ^ { - n } | n \in \mathbb { N } \right\} } \end{array} \quad ( \mathrm { d } ) \mathbb { R } \backslash \left( \left\{ 2 ^ { - n } | n \in \mathbb { N } \right\} \cup \{ 0 \} \right) $$

Problem/Ansatz:

Offen heisst, in der Topologie oder besser in einem Topologischen Raum (X,τ)  wenn eine Menge Element der Topologie τ  ist.
In dieser Aufgabe ist IR die Grundmenge X und ich weiss nichts über eine Topologie τ. 
 
Also muss ich wahrscheinlich den Weg über die sogenannte Standardtopologie von IR gehen, nun weiss ich aber nicht was das bedeutet. Ich weiss aber dass es in IR möglich ist, Distanzen zu "messen", also womöglich muss ich über die Distanzfunktion gehen.

Ich weiss aber auch, dass eine Menge in IR offen heisst, wenn für jeden Punkt in dieser Menge oder Teilmenge von IR gilt,
B_ε(x) = { y ∈ X | Ix-yI < ε }

Mein Vorgehen:

Ich muss die möglichen Antworten überprüfen ob sie offen sind, aber ich weiss nicht wie ich das mache.
Ich kann zum Beispiel Anfangen und mir überlegen, wie überhaupt a,b,c,d in IR aussehen. 

a) Q macht auf dem Zahlenstrahl alle Punkte aus, ausser die irrationalen Zahlen. 
b) IR\Q gibt mir alle Irrationalen Zahlen aus.
c) Ist die Menge IR ohne die Menge der Zahlen: {1/2, 1/4, 1/8, 1/16...}
d) Ist die Menge IR ohne die MEnge der Zahlen: {0, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16...}

Doch welche Eigenschaften müssen genau diese Mengen erfüllen, damit sie offen sind?

Frage:
Wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte mit der Begriffsklärung und evt. Lösungsansätzen und allgemeinen Erklärungen:

Schlüsselfragen:
Was heisst Standardtopologie überhaupt? 
Wie finde ich heraus ob a),b),c) oder d) ein Element der Standardtopologie ist oder wie widerlege ich das?

Comments

Standardtopologie ist Topologie die von der euklidischen Metrik induziert ist, d.h. Menge U ist in metrischen Raum (X,d) offen genau dann, wenn für jeden x aus U ein epsilon >0 gibt  sodass \(B_\epsilon(x)\subset U \). Mach dir klar, dass diese Definition tatsächlich eine Topologie ist.

Q in R z.B. ist nicht offen, um keinen q aus Q eine solches Epsilon existiert.

Answer 1

Sei (X, ||·||) ein normierter Raum. Dann ist (X, d) mit

        d(x,y) = ||x-y||

ein metrischer Raum. Sei τ ⊆ Pot(X) mit

        M ∈ τ ⇔ ∀ m∈M ∃ ε > 0 {x∈X | d(x,m) < ε} ⊆ M.

Dann ist τ die von der Norm induzierte Topologie.

Die Standardtopologie auf ℝⁿ ist die Topologie, die von der euklidischen Norm

        || (x₁,...,x_n) || = √(x₁² + ... + x_n²)

induziert wird. Im Falle n = 1 ist das der Betrag der reellen Zahl.

Comments

was ist M und was ist Pot(X) ?

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M ∈ τ ⇔ ∀ m∈M ∃ ε > 0 {x∈X | d(x,m) < ε} ⊆ M

Das muss für jedes M ∈ Pot(X) gelten, damit τ die von der Norm induzierte Topologie ist.

Pot(X) ist die Potenzmenge von X, d.h. die Menge aller Teilmengen von X.

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ok, super... ich schaue es mir an.