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Bewertung von Borelmengen
Um die gegebenen Mengen als Borelmengen zu beweisen, müssen wir uns erstmal klar machen, was Borelmengen sind. Eine Borelmenge ist eine Menge, die aus offenen Intervallen durch eine abzählbare Anzahl von Mengenoperationen wie Vereinigungen, Schnitten und Komplementbildungen gebildet werden kann. Offene, geschlossene, halboffene Intervalle und deren Komplemente sind Beispiele von Borelmengen, da sie direkt aus offenen Intervallen durch solche Operationen erzeugt werden können.
(i) Die Menge der positiven rationalen Zahlen, deren Wurzel kleiner als 3 ist.
Die genannte Menge lässt sich formal als \(\{q \in \mathbb{Q}^+ | q^2 < 9\}\) beschreiben, wobei \(\mathbb{Q}^+\) die Menge der positiven rationalen Zahlen repräsentiert. Da Quadratwurzeln von positiven rationalen Zahlen wieder reelle Zahlen sind, können wir diese Menge auch als Schnittmenge der rationalen Zahlen mit einem offenen Intervall verstehen, nämlich \(\mathbb{Q} \cap (0,3)\).
Das Intervall \((0,3)\) ist offensichtlich ein offenes Intervall in \(\mathbb{R}\) und nach Definition eine Borelmenge. Da die rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) als abzählbare Vereinigung von einzelnen Punkten (\(q \in \mathbb{Q}\) kann als \(\bigcup \{q\}\) dargestellt werden, wobei jedes \(\{q\}\) eine abgeschlossene Menge ist) gesehen werden können und jede solche einzelne Menge ({q}) trivialerweise als Borelmenge angesehen werden kann, ist auch \(\mathbb{Q}\) eine Borelmenge. Da die Schnittmenge von Borelmengen wieder eine Borelmenge ist, folgt daraus, dass die Menge der positiven rationalen Zahlen, deren Wurzel kleiner als 3 ist, ebenfalls eine Borelmenge ist.
(ii) \((-2,8] \backslash \mathbb{Q}\)
Die Menge \((-2,8] \backslash \mathbb{Q}\) bezeichnet das Komplement der rationalen Zahlen im halboffenen Intervall \((-2,8]\). Das Intervall \((-2,8]\) ist als halboffenes Intervall direkt eine Borelmenge. Wie bereits erwähnt, ist \(\mathbb{Q}\) ebenfalls eine Borelmenge. Das Komplement von \(\mathbb{Q}\) innerhalb des Intervalls \((-2,8]\), also der Teil des Intervalls, der nur irrationale Zahlen enthält, ist das Ergebnis einer Mengenoperation (nämlich des Mengenunterschieds) zwischen zwei Borelmengen. Da die Operationen, die eine Borelmenge definieren, auch den Unterschied zwischen Mengen beinhalten, ist diese resultierende Menge ebenfalls eine Borelmenge.
Zusammenfassend haben wir gezeigt, dass beide vorgegebenen Mengen durch Definition und Operationen, die zu den Borelmengen führen, als Borelmengen identifiziert werden können.
