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Zeigen Sie, dass folgende Menge abzählbar sind:
Um zu zeigen, dass eine Menge abzählbar ist, muss klargestellt werden, dass es eine bijektive (eineindeutige) Abbildung zwischen der besagten Menge und den natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) oder einem Teil davon gibt. Eine Menge ist abzählbar unendlich, wenn sie gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen ist.
Menge der geraden ℕ
Die Menge der geraden natürlichen Zahlen kann durch eine einfache Funktion zu den natürlichen Zahlen in Verbindung gesetzt werden. Bezeichnen wir die Menge der geraden Zahlen mit \(E\). Ein Element \(e \in E\) lässt sich durch \(e = 2n\) beschreiben, wobei \(n \in \mathbb{N}\). Die Abbildung \(f: \mathbb{N} \rightarrow E\), definiert durch \(f(n) = 2n\), ist bijektiv. Deshalb ist die Menge der geraden natürlichen Zahlen abzählbar.
Menge der ungeraden ℕ
Die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen kann ähnlich den geraden Zahlen gezeigt werden. Sei \(U\) die Menge der ungeraden Zahlen. Ein Element \(u \in U\) kann ausgedrückt werden als \(u = 2n - 1\) für \(n \in \mathbb{N}\), \(n > 0\). Die Funktion \(g: \mathbb{N} \rightarrow U\), definiert durch \(g(n) = 2n - 1\), bildet eine bijektive Verbindung zwischen \(\mathbb{N}\) und \(U\), was zeigt, dass die Menge der ungeraden Zahlen abzählbar ist.
Menge aller Quadratzahlen
Die Menge aller Quadratzahlen \(Q\) besteht aus den Zahlen \(q = n^2\), wobei \(n \in \mathbb{N}\). Die Funktion \(h: \mathbb{N} \rightarrow Q\), definiert durch \(h(n) = n^2\), ist eine bijektive Abbildung zwischen den natürlichen Zahlen und den Quadratzahlen, was bedeutet, dass die Menge aller Quadratzahlen abzählbar ist.
ℕ x ℕ x ℕ
Diese Menge besteht aus allen möglichen geordneten Tripeln natürlicher Zahlen \((a, b, c)\), wobei \(a, b, c \in \mathbb{N}\). Um zu zeigen, dass diese Menge abzählbar ist, kann man die Cantorsche Paarungsfunktion nutzen, die zeigt, dass \(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\) abzählbar ist. Dann kann man eine Erweiterung dieser Funktion anwenden, um zu zeigen, dass auch \(\mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N}\) abzählbar ist.
Die einfachste Methode, dies zu erklären, ist der Beweis durch Konstruktion einer expliziten Bijektion zwischen dieser Menge und \(\mathbb{N}\). Aber in Kurzform kann angemerkt werden, dass, weil jede Dimension \(\mathbb{N}\) selbst abzählbar ist, die Kombination in Form eines Produktraums (\(\mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N}\)) auch abzählbar bleibt. Eine mögliche Bijektion könnte durch die Erweiterung der Cantorschen Funktion zu einer dreifachen Version erreicht werden, die jeden Punkt \((a, b, c)\) auf eine eindeutige natürliche Zahl abbildet.
Zusammengefasst sind alle genannten Mengen abzählbar, da sie entweder direkt oder durch Konstruktion einer expliziten bijektiven Funktion zu \(\mathbb{N}\) als abzählbar nachgewiesen werden können.
