Begründen Sie, dass die Menge ℚ+ := {r = p/q : p ∈ ℕ0; q ∈ ℕ} abzählbar ist.

Question

Begründen Sie unter Verwendung der Abzählbarkeit von ℕ₀ ∈ ℕ₀, dass die Menge ℚ₊ := {r = p/q : p ∈ ℕ₀; q ∈ ℕ} der nichtnegativen rationalen Zahlen abzählbar ist. Wie verhält es sich mit ganz ℚ?

Answer 1

Lege dir eine (theoretisch unendlich große) Matrix aller Brüche so an: Brüche in der gleichen Zeile haben gleiche Zähler und die Nenner gehen von 1 bis n; Brüche in der gleichen Spalte  haben gleiche Nenner und die Zähler gehen von 1 bis n; beginne mit 1/1. Dann zähle so ab: 1/1; 1/2; 2/1; 3/1; 2/2; 1/3; 1/4; 2/3; ...usw.