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Seien a, b, c, d >=  0. Beweisen Sie die folgenden Abschätzung:

\( \left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^{4} \geq a b c d \)


Ich komme einfach nicht auf irgendein intelligenten Ansatz um das zu lösen..

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Hi,


Zu zeigen:

1/4(a+b+c+d)≥(abcd)^{1/4}


Start:

1/2(a+b)≥(ab)^{1/2}

1/2(c+d)≥(cd)^{1/2}

(dass das gilt kann man schnell mit dem Widerspruchsbeweis anführen und wofür man letztlich auf (a-b)^2<0 respektive (c-d)^2<0 kommt)

(Für unten: 1/2(x+y)≥(xy)^{1/2} )


Multiplizieren von beiden mit 2

(a+b)≥2(ab)^{1/2}

(c+d)≥2(cd)^{1/2}

Somit:

a+b+c+d≥2(ab)^{1/2} + 2(cd)^{1/2}

1/4(a+b+c+d) ≥ 1/2 ((ab)^{1/2}+(cd)^{1/2})


Die rechte Seite sei nun x=(ab)^{1/2} und y=(cd)^{1/2}

Mit obigen 1/2(x+y)≥(xy)^{1/2}

--> 1/2((ab)^{1/2} + (cd)^{1/2}) ≥ ( (ab)^{1/2}*(cd)^{1/2})^{1/2} = (abcd)^{1/4}

Folglich ist

1/4(a+b+c+d) ≥ (abcd)^{1/4}


Alles klar? Hoffe ist kein (Logik)Fehler drin :).


Grüße
Avatar von 141 k 🚀
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habe gerade leider keine Zeit zum Rechnen.

Hast du mal versucht, die Hochzahl zu teilen, also:

\frac { (a+b+c+d)^{ 4 } }{ 256 }
Dann die 256 nach rechts und die linke Seite auflösen.

Das würde ich mal versuchen :)


LG
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Ja, das habe ich schon versucht, dann steht da

a^4+4 a^3 b+4 a^3 c+4 a^3 d+6 a^2 b^2+12 a^2 b c+12 a^2 b d+6 a^2 c^2+12 a^2 c d+6 a^2 d^2+4 a b^3+12 a b^2 c+12 a b^2 d+12 a b c^2+24 a b c d+12 a b d^2+4 a c^3+12 a c^2 d+12 a c d^2+4 a d^3+b^4+4 b^3 c+4 b^3 d+6 b^2 c^2+12 b^2 c d+6 b^2 d^2+4 b c^3+12 b c^2 d+12 b c d^2+4 b d^3+c^4+4 c^3 d+6 c^2 d^2+4 c d^3+d^4>=256 a b c d

aber wie soll mir das weiterhelfen?
Hmm... Ja stimmt, das wird echt komplex.

In welchem Themenbereich befinden wir uns denn gerade? Also ich meine, was machst du gerade in der Schule? Vielleicht komme ich damit auf die Lösung!
uni analysis 1, nicht schule ;) wir hatten schon induktionsbeweise, aber glaub, dass wir das irgendwie schon durch umformen oder so lösen sollen
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Mittelungleichung AM-GM besagt:

(a+b+c+d)/4 größer gleich vierte Wurzel von abcd

Dann einfach hoch 4 und fertig
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