Beweise ((a+b+c+d)/4)^4 >= abcd

Question

Seien a, b, c, d >=  0. Beweisen Sie die folgenden Abschätzung:

\( \left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^{4} \geq a b c d \)

Ich komme einfach nicht auf irgendein intelligenten Ansatz um das zu lösen..

Answer 1

Hi,


Zu zeigen:

1/4(a+b+c+d)≥(abcd)^{1/4}


Start:

1/2(a+b)≥(ab)^{1/2}

1/2(c+d)≥(cd)^{1/2}

(dass das gilt kann man schnell mit dem Widerspruchsbeweis anführen und wofür man letztlich auf (a-b)^2<0 respektive (c-d)^2<0 kommt)

(Für unten: 1/2(x+y)≥(xy)^{1/2} )


Multiplizieren von beiden mit 2

(a+b)≥2(ab)^{1/2}

(c+d)≥2(cd)^{1/2}

Somit:

a+b+c+d≥2(ab)^{1/2} + 2(cd)^{1/2}

1/4(a+b+c+d) ≥ 1/2 ((ab)^{1/2}+(cd)^{1/2})


Die rechte Seite sei nun x=(ab)^{1/2} und y=(cd)^{1/2}

Mit obigen 1/2(x+y)≥(xy)^{1/2}

--> 1/2((ab)^{1/2} + (cd)^{1/2}) ≥ ( (ab)^{1/2}*(cd)^{1/2})^{1/2} = (abcd)^{1/4}

Folglich ist

1/4(a+b+c+d) ≥ (abcd)^{1/4}


Alles klar? Hoffe ist kein (Logik)Fehler drin :).


Grüße

Answer 2

habe gerade leider keine Zeit zum Rechnen.

Hast du mal versucht, die Hochzahl zu teilen, also:

\frac { (a+b+c+d)^{ 4 } }{ 256 }
Dann die 256 nach rechts und die linke Seite auflösen.

Das würde ich mal versuchen :)


LG

Comments

Ja, das habe ich schon versucht, dann steht da

a^4+4 a^3 b+4 a^3 c+4 a^3 d+6 a^2 b^2+12 a^2 b c+12 a^2 b d+6 a^2 c^2+12 a^2 c d+6 a^2 d^2+4 a b^3+12 a b^2 c+12 a b^2 d+12 a b c^2+24 a b c d+12 a b d^2+4 a c^3+12 a c^2 d+12 a c d^2+4 a d^3+b^4+4 b^3 c+4 b^3 d+6 b^2 c^2+12 b^2 c d+6 b^2 d^2+4 b c^3+12 b c^2 d+12 b c d^2+4 b d^3+c^4+4 c^3 d+6 c^2 d^2+4 c d^3+d^4>=256 a b c d

aber wie soll mir das weiterhelfen?

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Hmm... Ja stimmt, das wird echt komplex.

In welchem Themenbereich befinden wir uns denn gerade? Also ich meine, was machst du gerade in der Schule? Vielleicht komme ich damit auf die Lösung!

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uni analysis 1, nicht schule ;) wir hatten schon induktionsbeweise, aber glaub, dass wir das irgendwie schon durch umformen oder so lösen sollen

Answer 3

Mittelungleichung AM-GM besagt:

(a+b+c+d)/4 größer gleich vierte Wurzel von abcd

Dann einfach hoch 4 und fertig