Niveauflächen zeichnen, Mannigfaltigkeit und Volumenberechnung

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion : f: ℝ³ → ℝ , x ↦ x₃² - x₁² - x₂² .

Für ein c ∈ ℝ sei X_c = f^-1(c) die zugehörige Niveaufläche

a) Skizziere X_-1 , X₀ und X₁

b) Für welche Werte c ∈ ℝ ist X_c eine Untermannigfaltigkeit des ℝ³ ?

c) Berechne das Volumen der Fläche  Z := { x ∈ X_-1 |  |x₃| < 1 }   (ist Fläche hier richtig?)

Problem/Ansatz:

Leider fehlen mir die Unterlagen zu diesem Thema und mit Hilfe des Internets habe ich es versucht, jedoch ohne Erfolg

zu a):  Ich weiß was eine Niveaufläche ist  und dass man den Konstanten Wert für -1,0 und 1 ersetzten soll, leider weiß ich nicht was ich anschließend machen soll. Und wie man sowas anschließend skizziert weiß ich leider auch nicht.

b) Hierzu weiß ich gar nichts , genauso wie für c).

Ich würde gerne verstehen wie man an diese Aufgabe rangeht und freue mich über Tipps und Hinweise.

Danke

Answer 1

Zu a) sollst du dir Gedanken machen wo die Funktion die genannten Werte annimmt. ZB für c=0 ist sicher (0,0,0) einer der gesuchten Punkte. Nun musst du dir das so vorstellen, dass du zB im Kopf x_3 festlässt und dir Gedanken machst, wann x_1 und x_2 so sind, dass f(x)=0. ZB für x_3=1 müsste ja -x_1^2-x_2^2=-||(x_1,x_2)||^2=-1 sein. Also sind das immer für festes x_3 Kreise in der x_1-x_2-Ebene.

b) Kommt jetzt bei mir darauf an wie ihr Unterman. definiert habt.

c) Ja Fläche passt. Ist in gewisser Weise eine Oberfläche. Da gibt es eine tolle Formel. Musst dann einfach einsetzen.

LG

Comments

Bei a) irritiert mich das f^-1

zu b) Wie gesagt habe ich kein Material. Wie würdest du es denn mit der Def. von Wikipedia oder ähnliches angehen?

zu c) siehe b) Schaue mal ob ich eine schöne Formel finde :)

---

Hallo nochmal.

Ich habe die vorgehensweise zu a) verstanden, Jedoch ist das skizieren noch ein Problem für mich. Skizziert man dann einheitskreise um beliebig feste x_3?

Ich habe es mir auch auf Wolfram geplotted, jedoch weiß ich einfach nicht, wie z.b. jetzt X₀  aussehen sollte..

und zu c) Habe und finde ich keine Formel :(

---

Ja genau Kreise um ein festes x_3. Aber das sind nicht unbedingt Einheitskreise :) $f^{-1}$$ ist einfach die Urbildmenge. Doie Notation ist nicht ganz so schön, weil das ja eigtl die Umkehrfunktion ist und die nicht unbedingt existieren muss. Zu b hilft der Satz vom regulären Wert (oder auch implizite Funktion würde gehen). Der sagt dass das eine Untermanigfaltigkeit ist, wenn für alle x, der Gradient surjektiv ist. Schau dir das einfach mal bei Wikipedia an :) Ich würde einfach mal raten, dass es in 0 nicht so ist, weil da bestimmt was verschwindet. Bei c kenne ich als Formel $$\int\int\limits_Q \sqrt{EG-F^2} du\ dv$$

aber mein Prof war da etwas eigensinnig mit Bezeichnungen. Kennst du die zufällig so?

LG

---

leider ist dein Kommentar etwas schlecht aufgebaut ( keine leerzeichen und falsche programmcodes?)

Geht es nur mir so?  Auf firefox und Chrome  nicht richtig darstellbar