Charakteristisches Polynom kann als Produkt zweier charakteristische Polynome geschrieben werden

Question

Aufgabe

Matrix M= \( \begin{pmatrix} A1 & B \\ 0 & A2 \end{pmatrix} \)

Sei eine Matrix, wo A1 und A2 quadratische Matrizen sind. Zeige, dass
das charakteristische Polynom von M das Produkt der charakteristischen Polynome
von A1 und A2 ist. (Verwende, dass für die Matrix M die Eigenschaft det(M)=det( A1) det(A2) gilt.) Wie lautet die Verallgemeinerung?

Ansatz:

zu zeigen: p_M(x) = p_A1(x) * p_A2(x)

Definition: p_M(x) = det ( A - xEn) ist Polynom vom Grad n

p_M(x) = det ( \( \begin{pmatrix} A1 & B \\ 0 & A2 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} \) )

p_M(x) = det ( \( \begin{pmatrix} A1-x & B \\ 0 & A2-x \end{pmatrix} \)

p_M(x) = (A1-x) * (A2-x) - B*0

p_M(x) = (A1-x) * (A2-x)

p_M(x) = p_A1(x) * p_A2(x)

Problem:

Wie verpacke ich die Verwendung von det(M) = det(A1) * det(A2) und wie lautet die Verallgemeinerung?

Comments

Hallo

1. was stellst du dir denn unter x vor in A-x? von einer Matrix kann man doch nur eine Matrix subtrahieren?

2. wie kommst du von det auf das Produkt  von Matrizen (Zeile 2 nach 3)???

also formuliere erst mal richtig! Dann sieht man auch die Anwendung von det(M) = det(A1) * det(A2)

Gruß lul

---

1. det(A-xEn) ist die Definition vom Polynom, wobei En die EInheitsmatrix ist und x der Eigenwert

2. Die Determinante einer 2x2-Matrix, die Werte der ersten Diagonale multipliziert minus die Werte der zweiten Diagonale multipliziert

Was meinst du mit richtig formulieren?

---

Kann mir hier jemand dazu helfen?

Vielen Dank!

Answer 1

es ist

\( p_M(x) = det( M - x I_M ) \)

\(= \det ( A_1 - x I_{A_1} ) \det ( A_2 - x I_{A_2} ) \)

\( = p_{A_1}(x) p_{A_2}(x) \),

wobei \( I_M \), \( I_{A_1} \) und \( I_{A_2} \) die Einheitsmatrizen mit der Größe von \( M \), \( A_1 \) beziehungsweise \( A_2 \) sind.

Die Verallgemeinerung hat statt zweier Blockmatrizen \( n \) Blockmatrizen auf der Diagonalen.

Grüße

Mister