Charakteristisches Polynom; Gleichheit zweier Polynome

Question

Aufgabe:

$$ \text{Es sei die Matrix } A\in M(n,n;\mathbb{K}) \\\text{und die lineare Abbildung }L_A: M(n,n;\mathbb{K}) \rightarrow M(n,n;\mathbb{K}), \ B \mapsto A\cdot B=:L_A(B) \text{ gegeben.}$$

Dann gilt $$ P_{L_A}= (P_A)^n$$

Problem/Ansatz:

Ich hab mir das mal an einem Beispiel angeschaut und es stur nachgerechnet. Es kommt aber nur Schrott raus, obwohl ich doch nur die Polynome ausgerechnet habe. Was übersehe ich?

Ich betrachte diese Matrizen $$ A=\begin{pmatrix}2 & 1\\3 & 1 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 & 0\\2 & 4 \end{pmatrix},\quad  A\cdot B=\begin{pmatrix}4 & 4\\5 & 4 \end{pmatrix}\\ P_{L_A}(t)=\det(A\cdot B-t\cdot E_2) =(4-t)^2-20=\underline{t^2-8t-4}\\ (P_{A}(t))^2=(\det(A-t\cdot E_2))^2 = ((2-t)\cdot (1-t)-3)^2=\underline{t^4-6t^3+7t^2+6t+1}$$

Man sieht es. Es kommt so ziemlich nicht das raus, was rauskommen sollte. Was verstehe ich falsch???

Answer 1

Hallo
du hast P_BA berechnet, nicht P_LA, LA bildet Matrizen auf Matrizen ab, nicht Vektoren auf Vektoren La ist eine Abbildung im Raum der Dimension  n^2 bzw. bei dir 4.
Gruß lul