Charakteristisches Polynom und Minimalpolynom

Question

Aufgabe:

(a) Sei \( f: V \rightarrow V \) ein Endomorphismen eines \( K \)-Vektorraums \( V \) mit \( \operatorname{dim}_{K} V= \) 17, der sich in Jordannormalform bringen läßt. Seien \( \alpha, \beta, \gamma \in K \) mit \( \alpha \neq \) \( \beta \neq \gamma \neq \alpha . f \) habe 8 Jordanblöcke der Größen \( r_{i} \) und mit Eigenwerten \( \lambda_{i} \) wie in der Tabelle.

Geben Sie \( P_{f}(t) \) und \( M_{f}(t) \) an. Begründungen sind nicht nötig.

(b) Geben Sie zwei Matrizen \( A, B \in M(4 \times 4, \mathbb{Q}) \) in Jordannormalform an, deren Jordanblöcke nicht bis auf die Reihenfolge übereinstimmen, die aber trotzdem \( P_{A}(t)=P_{B}(t) \) und \( M_{A}(t)=M_{B}(t) \) erfüllen.

Problem/Ansatz:

Die a) konnte ich lösen. Da kommt (t-alpha)^8 *(t-beta)^3 * (t-gamma)^7

Und (t-alpha)^4 * (t-beta)^2 * (t-gamma)^3

Jedoch komm ich mit dieser abstrakten Form nicht bei der b) weiter.

Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Answer 1

Zu (b):

Betrachte \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right)\) und \(B=\left(\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}\right)\).