Charakteristisches Polynom und Minimalpolynom bestimmen

Question

:)

ich soll eine Aufgabe lösen wo man das Charakteristische- und auch das Minimalpolynom bestimmen soll.

Diese Mat. ist gegeben : \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 &2  \end{pmatrix} \)

Ich habe das Char.polynom bestimmt: χ_A = -λ³ +6λ² -12λ+8, die Nullstellen sind x1=2, x2=2 und x3=3.

Jetzt sollte ich das Minimalpolynom bestimmen.. Jedoch weiß ich nicht wie wenn ich 3 gleiche Nullstellen habe. Mir ist es klar, dass jede Nullstelle von dem char.polynom auch eine Nullstelle vom Minimalpolynom ist aber ich weiß nicht wie ich das aufschreiben soll.

Meine Idee war: μ_A =(A* 2*En) aber dann kommt ja nicht am ende μ_A = 0 also kann es nicht stimmen..

Ich hoffe jemand kann mir weiter Helfen. :) Ich bendake mich im voraus.

Comments

Das Minimalpolynom müsste \(p(x)=x-2\) sein, denn \(p(A)=A-2E_3=0\).

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Ich habe das Char.polynom bestimmt: χA = -λ3 +6λ2 -12λ+8, die Nullstellen sind x1=2, x2=2 und x3=3.

Das passt überhaupt nicht zu deiner Matrix. Fehlt da was?

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Nein, so war die Aufgabe gestellt. Ich habe mich nur beim 3ten EW vertippt, da sollte 2 stehen!

χA = -λ3 +6λ2 -12λ+8 ist ja auch richtig berechnet :)

Oder meinen Sie etwas anderes ?

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Mich hatte gewundert , dass du als dritten Eigenwert x=3 angegeben hast und das Polynom ausmultipliziert hast.  Da dachte ich, dass du in der Matrix was vertauscht hast.Hat sich durch die Antwort inzwischen geklärt.

Answer 1

Aloha :)

Bei einer Dreieckmatrix ist die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente. Daher kannst du das charakteristische Polynom sofort hinschreiben:$$\chi_A(\lambda)=(2-\lambda)^3=-\left(\lambda^3-6\lambda^2+12\lambda-8\right)$$Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt \(\chi_A(A)=0\):$$0=\chi_A(A)=(2-A)^3\quad\Rightarrow\quad (A-2)^3=0$$Weiter ist das Minimalpolynom \(m_A(x)\) ein Teiler von \(\chi_A(x)\). Also ist:$$m_A(x)=x-2$$