Beweis: f hat genau einen Fixpunkt

Question 1

Sei K ein Körper f : Kⁿ→ Kⁿ eine affine Abbildung von der Form f (x) = Ax+b.
A sei eine Matrix.

(a) Nehmen Sie an, dass λ = 1 kein Eigenwert von A ist. Zeigen Sie, dass f genau einen Fixpunkt hat.

(b) Nehmen Sie nun an, dass λ = 1 ein Eigenwert von A ist. Sei x₀ein Fixpunkt von f und V₁ der Eigenraum von A zum Eigenwert λ = 1. Zeigen Sie, dass Fix (f) = x₀ + V₁.

Question 2

a) Es gilt

$$ f(v)=Av+b=v \iff (A-I)v=-b $$

Also ist v genau dann ein Fixpunkt von f wenn es Lösung des LGS mit der Koeffizientenmatrix A-I ist (I Einheitsmatrix). Wann hat ein LGS eine eindeutige Lösung? Welche Bedingungen muss die Matrix dafür erfüllen?

b) Zeige hier die zwei Inklusionen.

Wenn $ v = x_0+x_1$ mit $ x_1\in V_1$ dann gilt $$ f (v)=Ax_0+Ax_1+b = (Ax_0+b) +Ax_1$$

Wie würdest du hier fortfahren um $ f (v)=v$ zu zeigen?

Wenn $ v \in \operatorname {Fix}(f) $, dann gilt $ f(v)=v $ um jetzt zu zeigen, dass $ v \in x_0+V_1 $ musst du nachrechnen dass $ v - x_0\in V_1 $. Was bedeutet das?

EmNero · Answer 1 · 2020-05-08T16:30:41+0000

a) Es gilt

$$ f(v)=Av+b=v \iff (A-I)v=-b $$

Also ist v genau dann ein Fixpunkt von f wenn es Lösung des LGS mit der Koeffizientenmatrix A-I ist (I Einheitsmatrix). Wann hat ein LGS eine eindeutige Lösung? Welche Bedingungen muss die Matrix dafür erfüllen?

b) Zeige hier die zwei Inklusionen.

Wenn $ v = x_0+x_1$ mit $ x_1\in V_1$ dann gilt $$ f (v)=Ax_0+Ax_1+b = (Ax_0+b) +Ax_1$$

Wie würdest du hier fortfahren um $ f (v)=v$ zu zeigen?

Wenn $ v \in \operatorname {Fix}(f) $, dann gilt $ f(v)=v $ um jetzt zu zeigen, dass $ v \in x_0+V_1 $ musst du nachrechnen dass $ v - x_0\in V_1 $. Was bedeutet das?

Beweis: f hat genau einen Fixpunkt

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