Aufgabe:
Sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler K Vektorraum. Sei F : V → V eine bijektive lineare Abbildung. Sei f = ℙ(F ).
(a) Zeigen Sie, dass p ∈ ℙ(V) genau dann ein Fixpunkt von f ist, wenn p = Kv für einen Eigenvektor v von F ist.
(b) Angenommen, alle Eigenwerte von F haben algebraische Vielfachheit 1 (F muss allerdings nicht diagonalisierbar sein. Wir setzen nicht voraus, dass es n verschiedene Eigenwerte in K gibt). Zeigen Sie, dass f höchstens n Fixpunkte hat.
(c) Sei K = ℝ und n > 2. Finden Sie eine nicht triviale lineare bijektive Abbildung F, sodass f unendlich viele Fixpunkte hat.
