Diagonalisierbarbeit von Matrizen

Question

ich habe ein paar Fragen zu einer Aufgabe bei der ich mir nicht sicher bin:

Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A und für jeden Eigenwert eine Basis des zugehörigen Eigenraumes. Zeigen Sie, dass A diagonalisierbar ist.

  

und der zweite Aufgabenteil:
Für die Matrix B ist die Aufgabe fast die selbe, man soll nur zeigen, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist.

Die Klammern haben keinen Sinn, hab nur beim Formeleditor was anderes angeklickt^^

Hab zu beiden die Eigenwerte bereits berechnet:
A:
$${ \gimel  }_{ 1,2 }=1\\ { \gimel  }_{ 3 }=4\\ (soll\quad Lambda\quad sein,\quad finde\quad das\quad Zeichen\quad nur\quad nicht)\\ $$
Und wenn ich mich nicht irre dürfte die Basis dazu der Eigenvektor sein...?
$$V=(x;x;x)$$
Für B habe ich als Eigenwerte
$${ \gimel  }_{ 1,2 }=0$$
und als Eigenvektor
$$V=(x;0)$$

Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß wie ich jetzt damit zeige, dass A diagonalisierbar ist und B nicht diagonalisierbar ist...^^

Wäre nett wenn mir jemand da weiterhelfen könnte ;-)


Lipsen

Answer 1

A=((2,1,1),(1,2,1),(1,1,2))

charakteristisches Polynom:

0=(2-λ)^3-3*(2-λ)+2

0=-λ^3+6λ^2-9λ+4

0=λ^3-6λ^2+9λ-4

λ₁=1 erraten, Polynomdivision

0=(λ-1)*(λ^2-5λ+4)

(λ^2-5λ+4)=0

(λ-5/2)^2+4-25/4=0

(λ-5/2)^2=9/4

|λ-5/2|=3/2

λ₂=1

λ₃=4

Eigenvektor:

Löse (A-1*E₃)*X=0

--> x+y+z=1

--> y=y, z=z , x=1-y-z

--> Eigenvektor (1-y-z,y,z)

Also Dimension des Eigenraumes ist 2 (weil 2 Parameter y,z)

Die Dimension des Eigenraumes von λ₃=4 muss mindestens 1 sein, darf aber nicht 2 sein, da ansonsten die Summe der Dimensionen größer als 3 wäre.

Somit ist die Dimension vom Eigenraum von λ₃=4 eins.

Somit stimmen die geometrischen Vielfachheiten mit den algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte überein

--> A diagonalisierbar.

bei b) die Eigenwerte sind 0, mit algebraischer Vielfachheit 2.

Als Eigenraum ergibt sich (x,0), Dimension nur eins≠zwei --> nicht diagonalisierbar

Comments

danke für die Antwort :D
aber wie kommst du auf:
x+y+z=1   ?

müsste das nicht 
x+y+z=0 

sein?

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Ja, es muss lauten x+y+z=0, hab da eine 1 geschrieben weil in der Matrix sich nur Einsen ergeben haben ;)

Der richtige Eigenvektor wäre dann (-y-z,y,z)

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noch eine Frage, wie genau bestimmt man die Vielfachheit? einfach durch gucken oder ist da ein Trick hinter?^^

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Die algebraische Vielfachheit ist einfach wie oft der Eigenwert vorkommt, einfacher Eigenwert = algebraische Vielfachheit 1, doppelter Eigenwert (wie in Aufgabe b)) hat alg. Vielfachheit 2 usw.

Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums.

Die Dimension wird dadurch bestimmt, wie viele Parameter im Eigenraum sind.

z.B (1-y-z,y,z) hat geometrische Vielfachheit 2, da zwei Parameter auftreten.

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danke für die schnellen Antworten :D