Berechne Eigenwerte und dazu Eigenvektoren der folgenden Matrizen A=((-3,2)(2;-1)), B((1,0,0),…

Question

Berechnen Sie die Eigenwerte und die jeweiligen Eigenvektoren der folgenden Matrizen:

a.)

        -3    2

         2   -1     
b.)

      1  0  0

      1  2  0

      0  1  1

Answer 1

det [-3 - k, 2; 2, -1 - k] = k^2 + 4·k - 1 = 0
k = - 2 ± √5

Eigenvektoren für - 2 + √5

[-3 - (- 2 + √5), 2; 2, -1 - (- 2 + √5)]·[a; b] = [0; 0]

b = b (Freiheitsgrad)

a = b·(√5/2 - 1/2)

Damit lautet der Vektor [√5/2 - 1/2; 1] * b


Eigenvektoren für - 2 - √5

[-3 - (- 2 - √5), 2; 2, -1 - (- 2 - √5)]·[a; b] = [0; 0]

b = b (Freiheitsgrad)

a = - b·(√5/2 + 1/2)

Damit lautet der Vektor [√5/2 + 1/2; -1] * b

Comments

det [1 - k, 0, 0; 1, 2 - k, 0; 0, 1, 1 - k] = (2 - k)·(k - 1)^2 = 0

k = 1 und k = 2


Eigenvektoren für den Eigenwert 1

[1 - 1, 0, 0; 1, 2 - 1, 0; 0, 1, 1 - 1]·[a; b; c] = [0; 0; 0]

a = 0 und b = 0 und c ist Freiheitsgrad

Damit lautet der Vektor [0, 0, c]


Eigenvektoren für den Eigenwert 2

[1 - 2, 0, 0; 1, 2 - 2, 0; 0, 1, 1 - 2]·[a; b; c] = [0; 0; 0]

a = 0 und b = c und c ist Freiheitsgrad

Damit lautet der Vektor [0, c, c]