Jede Funktion fn hat genau einen Fixpunkt an.

Question

Aufgabe:

Sei \( \emptyset \neq A \subset \mathbb{R}^{n} \) kompakt und \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge Lipschitz-stetiger Funktionen \( f_{n}: A \rightarrow A \) mit Lipschitz-Konstanten \( 0<L_{n}<1 \), also zu jedem \( n \in \mathbb{N} \) gibt es \( L_{n} \in(0,1) \), sodass für alle \( x, y \in A \) gilt
\( \left\|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right\| \leq L_{n}\|x-y\| . \)
Desweiteren konvergiere die Funktionenfolge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) punktweise gegen eine Funktion \( f: A \rightarrow A \) bei \( n \rightarrow \infty \). Beweisen Sie nun folgende Aussagen:

Problem/Ansatz:

Gezeigt werden soll, dass jede Funktion f_n genau einen Fixpunkt a_n hat. Kann ich dass dann analog wie den Banachscher Fixpunktsatz beweisen?

Comments

Du wendest einfach den Banachschen Fixpunktsatz auf \(f_n\) an.

Jedes \(f_n\) ist eine Kontraktion auf A, da die Lipschitz-Konstanten alle zwischen 0 und 1 liegen.

A ist mit der durch die Norm von \(\mathbb R^n\) induzierten Metrik ein vollständiger metrischer Raum. Also sind alle Voraussetzungen zur Anwendung des Fixpunktsatzes erfüllt.

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Vielen Dank - dann war ich mit dem Banachschen Fixpunktsatz eh auf dem richtigen Weg.