Aufgabe:
1. Aufgabe: Banachscher Fixpunktsatz (4 Punkte)
Sei \( D \subset \mathbb{R} \) offen und \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetig differenzierbare Funktion mit Fixpunkt \( x^{*} \in D \), so dass \( \left|f^{\prime}\left(x^{*}\right)\right|<1 \). Zeigen Sie, dass \( \delta>0 \) existiert, so dass mit \( I:=\left[x^{*}-\delta, x^{*}+\delta\right] \) gilt:
(i) \( I \subset D \) und \( f \) ist eine Selbstabbildung auf \( I \),
(ii) \( f \) ist eine strikte Kontraktion auf \( I \) mit Kontraktionskonstante \( q:=\sup _{x \in I}\left|f^{\prime}(x)\right|<1 \).
Bemerkung: Diese Aussage zeigt, dass zumindest nahe des Fixpunkts \( x^{*} \) die Bedingungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt sind, auch wenn sie evtl. nicht auf ganz \( D \) erfüllt sind.
2. Aufgabe: Banachscher Fixpunktsatz (1+2 Punkte)
Die stetige Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x):=x^{3} \), hat die zwei Fixpunkte \( x_{0}^{*}:=0 \) und \( x_{1}^{*}:=1 \).
(a) Warum widerspricht dies nicht dem Banachschen Fixpunktsatz?
(b) Bestimmen Sie zum Fixpunkt \( x_{0}^{*}=0 \) ein explizites \( \delta>0 \), so dass die Aussagen (i) und (ii) aus Aufgabe 1 erfüllt sind.
Problem:
Primär geht es hier um Aufgabenteil 2) ! Ich habe nur den Aufgabenteil 1) mit hinzu genommen, aufgrund (b) (und meine frage zu Aufgabe 1 schon in einem anderen Post gestellt!).
Banachscher Fixpunktsatz ist leider überhaupt nicht mein Thema und blicke da leider nicht durch!
Ich hoffe mir kann da ausgeholfen werden!
LG!
