Zeigen Sie, dass genau ein f ∈ C^{0}([0,1]) existiert mit f(x)=g(x)+\frac{f(|2 x-1|)}{2} \quad für alle x \in[0,1] .

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es sei \( g \in C^{0}([0,1]) \). Zeigen Sie, dass genau ein \( f \in C^{0}([0,1]) \) existiert mit \( f(x)=g(x)+\frac{f(|2 x-1|)}{2} \quad \) für alle \( x \in[0,1] \).

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war es über den Banachschen Fixpunktsatz ranzugehen aber irgendwie klappt das nicht so ganz. Ich wäre über Tipps dankbar!

Answer 1

Banachscher Fixpunktsatz ist richtig, du arbeitest also mit der unendlich Norm und deine Fixpunktfunktion ist
\(\begin{aligned}   \Phi ( f)  = g + \frac{f \circ \varphi}{ 2} , \quad \varphi ( x) = \left| 2x - 1\right| .\end{aligned}\)
Dann erhältst du
\(\begin{aligned} \left\| \Phi ( f) - \Phi ( h)  \right\|_{\infty} &=\frac{1}{ 2} \sup_{ x \in [ 0, 1] } \left| f( \left| 2x - 1\right|) - h( \left| 2x - 1\right| ) ) \right| \\ &= \frac{1}{ 2} \sup_{ x \in [ 0, 1] } \left| f( x)  - h( x) \right| = \frac{1}{ 2}\left\| f - h\right\|_{\infty} .\end{aligned}\)

Jetzt noch überprüfen, dass \( \Phi (C^{ 0}(  [ 0, 1] ))\subset \Phi ( C^{ 0}( [ 0, 1] ) ) \) gilt, womit es dann eine Kontraktion ist, ...