Zeigen Sie, dass die Abbildung genau einen Fixpunkt hat

Question

Aufgabe:

Sei V = C([0, 1]) der Vektorraum aller stetigen Funktionen f : [0, 1] → ℝ versehen mit der
Supremumsnorm

||f|| := sup_x∈[0,1]|f(x)|.

Zeigen Sie, dass die Abbildung
Φ : V → V, (Φf)(x) = 1 + ∫₀^x t²f(t) dt

genau einen Fixpunkt in V hat.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis annehmen, dass es sich bei V um einen Banachraum handelt.

Problem/Ansatz:

Hallo :)

so wie ich das verstanden habe muss ich nur zeigen, dass die Abbildung Φ eine kontraktion ist. Nur finde ich es ziemlich schwer eine Abschätzung mit dem Integral zu finden. Ich würde mich über jede Hilfestellung freuen.

Answer 1

Wir zeigen, dass die Funktion eine Lipschitzkontraktion ist.
\( \begin{aligned} \|\Phi(f)-\Phi(g)\|_{\infty} &=\left\|\int \limits_{0}^{x} t^{2}(f(t)-g(t)) d t\right\|_{\infty} \\ &=\sup _{x \in[0,1]}\left|\int \limits_{0}^{x} t^{2}(f(t)-g(t)) d t\right| \\ & \leqslant \sup _{x \in[0,1]} \int \limits_{0}^{x} t^{2}|f(t)-g(t)| d t \\ & \leqslant \int \limits_{0}^{1} t^{2}|f(t)-g(t)| d t \\ & \leqslant \int \limits_{0}^{1} t^{2} \sup_{z \in [0, 1]} |f(z)-g(z)| d t \\ & \leqslant \int \limits_{0}^{1} t^{2}\|f(z)-g(z)\|_{\infty} dt\\ &=\|f(z)-g(z)\|_{\infty} \int \limits_{0}^{1} t^{2} d t=\frac{\|f(z)-g(z)\|_{\infty}}{3} . \end{aligned} \)