Sei A eine n x n Matrix mit n unterschiedlichen Eigenwerten. Zeige, dass A diagonalisierbar ist

Question

Aufgabe:

Sei A eine n x n Matrix mit n unterschiedlichen Eigenwerten. Zeige, dass A diagonalisierbar ist

Definition:

diagonalisierbar → A= P * D * P^-1

Ansatz:

A=\( \begin{pmatrix} a11 & ... & a1n \\ ... & ... & ... \\ an1 & ... & ann \end{pmatrix} \)

det( A - xEn) = det ( \( \begin{pmatrix} a11-x & ... & a1n \\ ... & ... & ... \\ an1 & ... & ann-x \end{pmatrix} \)

Dann gilt: det (A) = x1*x2*....*xn            (x1,x2....xn sind Eigenwerte)

zu zeigen: A  ist diagonalisierbar

Da A unterschiedliche Eigenwerte → Eigenvektoren sind linear unabhängig

Wenn A diagonalisierbar ist gibt es P und D, sodass

A = P * D * P^-1, wobei D = \( \begin{pmatrix} x1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... \\ 0 & ... & xn \end{pmatrix} \)

det(A) = det( P * D * P^-1 ) = det (P) * det(D) * det (P^-1) = det (D)

Answer 1

Der Punkt ist:

Da A unterschiedliche Eigenwerte → Eigenvektoren sind linear unabhängig,

also gibt es eine Basis aus Eigenvektoren

==>  A diagonalisierbar.

Comments

das heißt: mehr muss ich hierbei nicht schreiben, und das meiste von mir ist unnötig?

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Vielleicht etwas genauer, etwa so:

 A hat n unterschiedliche Eigenwerte .

Wähle ich also zu jedem dieser Eigenwerte einen

Eigenvektor , dann habe ich, da Eigenvektoren

zu verschiedenen EW'en linear unabhängig sind,

 eine Basis aus Eigenvektoren.

==>  A diagonalisierbar.

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Vielen Dank!

Meine Ausführung:

Da A n unterschiedliche EIgenwerte λ1.... λn  besitzt folgt dass die dazugehörenden Eigenvektoren v1... vn linear unabhängig sind.

Die Matrix

P = \( \begin{pmatrix} p11 & ... & pn1 \\ p1n & ... & pnn \end{pmatrix} \)

wird aus den Eigenvektoren v1...vn als Spaltenvektoren gebildet. Nach der Formel

A = P*D*P^-1 sind die Spalten von AP die Vektoren Av1, Av2 ..... Avn

Es gilt aber aufgrund des Eigenwertproblems: Av1 = λ1v1, .... , Avn = λnvn und damit

AP = \( \begin{pmatrix} λ1p11 & ... & λ1pn1 \\ λnp1n & ... & λnpnn \end{pmatrix} \)

AP = \( \begin{pmatrix} p11 & ... & pn1 \\ p1n & ... & pnn \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} λ1 & ... & 0 \\ 0 & ... & λn \end{pmatrix} \) = P*D

wobei D die Diagonalmatrix bestehend aus den Eigenwerten darstellt.

Da die Eigenvektoren v1...vn linear unabhängig und somit die Matrix P l. u. gilt dass P invervtierbar ist.

Damit erhält man aus der Gleichung A = P*D*P^-1 durch Umformung D= P^-1*A*P

--> A ist diagonalisierbar