Prüfung ob Matrix diagonalisierbar

Question

Wie prüfe ich am besten ob eine Matrix diagonalisierbar ist also ich weiß ich brauch die eigenwerte

und vektoren aber wie stelle ich jetzt fest ob meine Matrix diagonalisierbar ist ?

Answer 1

Hallo,

wenn Du eine \(n \times n-\)Matrix A hast, brauchst du n linear unabhängige Eigenvektoren, um die Matrix T zu bilden (\(T^{-1}AT=D\) mit einer Diagonal-Matrix D, die die Eigenwerte enthält). Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind automatisch linear unabhängig. Wenn aber eine Eigenwert algebraische Vielfachheit größer als 1 hat, dann kann es sein, dass der zugehörige Eigenraum eine geringere Dimension hat als die Vielfachheit angibt. In diesem Fall hast Du nicht genug linear unabhängige Eigenvektoren, um T zu füllen, und A ist nicht diagonalisierbar.

Gruß Mathhilf

Comments

bei der D matrix wenn ich ja die nullstellen berechne woher weiß ich was als erstes in der reihenfolge kommt ?

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beispielsweise habe ich ein lambda polynom ^3 ich klammere eins aus das wäre mein erster eigenwert aber woran erkenne ich was danach kommt wenn ich ja 2 lambdas nach der pq formel rausbekomme ?

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Die Reihenfolge der Eigenwerte ist gleichgültig. Du musst nur die Reihenfolge der Eigenwerte in der Matrix D genau so wählen, wie die Reihenfolge der jeweils zugehörigen Eigenvektoren als Spalten von T.

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achso vielen dank :D

Answer 2

Beispiele und Grundlagen

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

Hast Du eine konkrete Aufgabe?

Comments

T-1 A T = diag( λi ) also die T matrix ist die matrix mit den eigenvektoren A die normale und T-1  die inverse und die muss die diagonalmatrix der eigenwerte ergeben ?