Wie lautet der korrekte Beweis zu : Ist f(x) = x² für x € (- ∞;0] streng monoton fallend?

Question

Ich möchte einen sauberen Beweis schaffen der komplett 100% sauber ist. Ich habe dazu einen Wikipedia Artikel gefunden, denn ich aber nicht verstehe.

Unter Beispiele steht  es mit f(x) = x²

https://de.wikipedia.org/wiki/Monotone_reelle_Funktion

Was klar ist, ist die dritte binomische Formel und die generellen Bedingungen von Monotonie. Den Rest verstehe ich nicht.

Man sieht z.b folgendes

"x<y <= 0 so ist x-y < 0 " Wie kommt man darauf bzw. Was war die Absicht dahinter ?

Noch eine kleine Frage : Stimmt das folgende ?

Ist f(x) = x²-2 für x€ [2;3] streng monoton wachsend?

Meine Lösung :

f'(x) = 2x > 0 ⇒ x< y ⇒ f(x) < f(y)

Danke.

Comments

\(x^2\) ist auf dem Intervall \(]-\infty , 0]\) nicht streng monoton wachsend.

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Verbessert, mein Fehler.

Answer 1

f(x) = x^2

Bei Polynomfunktionen ändert sich die Monotonie an den Extremstellen. Polynome haben weiterhin immer eine strenge Monotonie. Ausnahme sind die Polynome Nullten Grades.

Da f bei x = 0 einen Tiefpunkt hat ist f im Intervall ]-∞; 0] streng monoton fallend und im Intervall [0; ∞[ streng monoton steigend.

Comments

Das wäre auch nicht mein Problem mit der Monotonieuntersuchung. Bei dem bestimmen ob es (streng) monoton steigend/fallend ist, hierbei wird es für mich problematisch. Der Ersteller dieses Beweises muss doch irgendwie darauf gekommen sein.

Was soll mir x<y<= 0 oder x-y < 0 sagen?

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Es für zwei Werte x, y mit x < y aus dem Intervall ]-∞ ; 0], dass f(x) > f(y). Damit ist die Funktion im Intervall ]-∞ ; 0] streng monoton fallend.

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Die Aussage

Ist f(x) = x²-2 für x€ [2;3] streng monoton wachsend?

ist zwar richtig, aber das ist nicht das größte Intervall. Man kann sogar sagen

f(x) = x² - 2 ist im Intervall [0; ∞[ streng monoton steigend.

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Okay, aber ich verstehe leider immer noch nicht was mir x-y<0 und x+y<0 sagen soll. Das größte Problem habe ich bei x²>f(y) = y².

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x < y ist erstmal umformbar zu x - y < 0. Das sagt beides das gleiche aus.

Nun muss gelten

f(x) > f(y)

x^2 > y^2

|x|^2 > |y|^2

|x| > |y|

und das gilt wenn x < y <= 0 ist oder nicht?

Du kannst auch sagen

y <= 0 und x = y - h mit h > 0

also

f(x) > f(y)

f(y - h) > f(y)

(y - h)^2 > y^2

y^2 - 2yh + h^2 > y^2

h^2 - 2yh > 0

h(h - 2y) > 0

h - 2y > 0

h > 2y

h ist immer positiv und da y <= 0 gilt ist die rechte Seite maximal 0. Also ist das immer erfüllt.

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Ich werde es mir mal zur ruhigen Minute anschauen. Danke mit wedelnden Hut.

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Ich glaub ich habe es jetzt. Ich habe es jetzt an dieser Aufgabe versucht:

Ist f(x) = e^x für x ∈ [0;∞) streng monoton wachsend?

Lösung :

Es ist 0 ≤ x < y dann ist x - y < 0 bzw. y - x < 0. Sei auch f(x) = e^x < f(y) = e^y was äquivalent zu e^x-e^y < 0 ist, aber es ist e^x > 0 und e^y > 0 also ist f auf dem Intervall streng monoton wachsend.

Stimmt dieser Beweis?

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Ist f(x) = ex für x ∈ [0;∞) streng monoton wachsend?

f(x) = e^x ist streng monoton Wachsend auf ganz R.

f'(x) = e^x > 0 → streng monoton wachsend.

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Ich weiß, dass ja, ich wollte nur diese Beweismethode konkret üben. Wie würde denn der Beweis für z.b f(x) = e^(x²-x) mit x ∈ [1,2] (streng monoton) aussehen?

Mit Ableitung ist das ja nicht schwer :

f'(x) = e^(x²-x)*(2x-1) hier ist e^(x²-x) > für x∈ℝ  und (2x-1) > 0 für x ∈ [1,2] daher

ist f'(x) > 0 → streng monoton wachsen

Aber mit Beweis ohne Ableitung?