Gleichungssystem Speerwerfen

Question

Aufgabe:

Ein Speerwerfer wirft aus einer Höhe von 1,8 m seinen Speer ab. Nach 31 m erreicht der Speer die größte Höhe, nach 65 m landet er am Boden

Die Flugbahn des Speeres lässt sich durch eine quadratische Funktion beschreiben.

a) 1) Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten dieser Parabel berechnet werden können.

2) Berechnen Sie die Funktion

b) Geben sie an, was im Sachzusammenhang mit folgendem Rechenausdruck berechnet werden kann: arctan (f'(0))

Answer 1

f(x) = ax^2 + bx + c

f'(x) = 2ax + b

Ein Speerwerfer wirft aus einer Höhe von 1,8 m seinen Speer ab:

f(0) = c = 1.8

Nach 31 m erreicht der Speer die größte Höhe:

f'(31) = 62a + b = 0

nach 65 m landet er am Boden:

f(65) = 4225a + 65b + c = 0

Jetzt hast du ein LGS mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten, das du lösen kannst.

Lösung: a = -3/325, b = 186/325, c = 9/5

f(x) = - 3/325x^2 + 186/325x + 9/5

f'(0) gibt die Steigung am der Stelle x = 0 an. Da ich in meine Funktion davon ausgegangen bin, dass bei = 0 abgeworfen wird, stellt arctan(f'(x)) im Sachzusammenhang den Abwurfwinkel des Speeres dar

Answer 2

Ein Speerwerfer wirft aus einer Höhe von 1,8 m seinen Speer ab. Nach 31 m erreicht der Speer die größte Höhe, nach 65 m landet er am Boden

f ( x ) = a*x^2 + b * x + c
f ´ ( x ) = 2 * a * x + b

f ( 0 ) = 1.8
f ´ ( 31 ) = 0 ( Steigung am Scheitelpunkt )
f ( 65 ) = 0

f ( 0 ) = a * 0^2 + b * 0 + c = 1.8 => c = 1.8
f ´ ( 31 ) = 2 * a * 31 + b = 0
f ( 65 ) = a * 65^2 + b * 65 + 1.8 = 0

c.)
f ´ ( 0 ) = ist der Steigungswinkel am Abwurfpunkt
arctan ( f ´ ( 0 ) ) ist der Steigungswinkel in Grad.
( Falls dein Rechner auf Grad steht )

Answer 3

Man kommt hier übrigens auch ganz ohne LGS aus, wenn man die Symmetrie der Parabel ausnutzt:

Scheitelpunkt bei \( x_S=31 \)

Nullstelle bei \( x_2=65 \)

Abstand \( x_2 - x_S = 34 \) also liegt die andere Nullstelle bei \( x_1 = x_S - 34 = -3 \)

Die Gleichung hat damit die Form $$ f(x)=a(x+3)(x-65)$$

$$ f(0) = 1.8 \implies a= - \frac{1.8}{3 \cdot 65}$$