Faltung von Funktionen

Question

warum genügt es bei der Faltung von zwei Funktionen f und g zu fordern, dass nur mindestens eine der beiden Funktionen einen kompakten Träger hat?

Vielen Dank!

Answer 1

die Faltung "erbt" die Kompaktheit des Trägers von jener der beiden Funktionen f und g, die den kompakten Träger hat.

Daher sichert die Kompaktheit des Trägers lediglich einer der beiden Funktionen f und g die Existenz der Faltung der beiden Funktionen.

Beispiel: Die Faltung der Sinusfunktion mit sich selbst, ausgewertet an der Stelle null, existiert nicht beziehungsweise ist "minus unendlich". Schränkt man aber den Träger einer der beiden Sinusfunktionen auf ein kompaktes Intervall ein, so existiert das Faltungsintegral.

Mister

Comments

Danke für die ausführliche Erklärung.

Leider verstehe ich dein Beispiel nicht so ganz.

Könntest du es mal vorrechnen?

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Zunächst: Wie sieht denn die Faltung der Sinus-Funktion mit sich selbst aus?

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\(f(y) = sin (y)\) und \(g(y) = cos (y)\). Dann ist

\((f * g)(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} sin(x-y) sin(y) d y\)

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Okay, es soll wahrscheinlich \( g(y) = \sin(y) \) dort stehen. Wenn man diese Faltung bei \( x = 0 \) auswertet, erhält man ein divergentes Integral (es hätte den uneigentlichen Wert \( - \infty \)).

Schränke in einem nächsten Schritt den Träger von \( g(y) \) auf das Intervall \( [0, 2 \pi] \) ein und werte die Faltung wieder an der Stelle \( x = 0 \) aus.

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Also bei der Stelle \(x=0\) erhalte ich folgendes Integral:

\((f * g)(0) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} sin(-y)sin(y) dy= - \int\limits_{-\infty}^{\infty} sin^2(y) dy \)

Löse ich nun dieses Integral, so existiert der Grenzwert nicht, da der Sinus alternierend zwischen Null und Eins ist. Das impliziert, dass das Integral nicht existieren kann.

Schränke ich nun, wie du vorgeschlagen hast den Träger von \(g(y)\) auf das kompakte Intervall \([0,2 \pi]\), so erhalte ich:

\((f * g)(0) = \int\limits_{\mathbb{R}\cap [0,2 \pi]} sin(-y)sin(y) dy= - \int\limits_{0}^{2\pi} sin^2(y) dy = -\pi \)

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Das mit dem Grenzwert stimmt. Er ist jedenfalls nicht existent.

Stimmt, du siehst: Die Faltung existiert, da eine der Funktionen einen kompakten Träger hat.

Sprich, der kompakte Träger einer Funktion ist hinreichend (aber nicht notwendig) für die Existenz der Faltung.

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Das Quadrat des Sinus \( \sin^2(x) \) nimmt Werte zwischen \( 0 \) und \( 1 \) an, das Integral \( - \int \sin^2(x) dx \) hat den uneigentlichen Wert \( - \infty \).

Hingegen kann man Integralen wie \( \int \sin(x) dx \) keinen uneigentlichen Wert zuordnen.

Es handelt sich um zwei verschiedene Formen der Nicht-Existenz.