Lagerbestand berechnen, Minimum, Maximum, momentanes Wachstum

Question

Hi ihr Lieben!

Ich hoffe ich störe nicht zu sehr mit meiner wahrscheinlich für euch primitiven Frage... aber ich hab mich schon seit langem nicht mehr mit solchen Aufgaben beschäftigt, daher kann ich mit dieser leider gar nichts anfangen ... /.\

Es handelt sich um den Lagerbestand eines Unternehmen, welches sich nach einer funktion entwickelt:

F(t)=-0,1t^3+8t^2-82t+2391

(t bezeichnet die Anzahl der tage)

Man soll folgendes prüfen:

1.) Der durchschnittliche Lagerbestand im Intervall [16, 61] beträgt 60,93 Stück

2.) In 47,59 Tagen erreicht der Lagerbestand ein lokales Minimum

3.) Im lokalen Minimum sind 5828,86 Stück auf Lager

4.) Der Lagerbestand wird 2164,99 Stück nicht überschreiten

5.) Das momentane wachstum zum Zeitpunkt t=18 beträgt 156,67 Stück

Könnte eventuell jemand von euch so lieb sein und mir erklären wie ich hier vorgehen muss? Bin leider nicht die hellste...

Ich bezweifle auch stark, dass 1.) So gelöst wird:

f(x)=-0,1t^3+8t^2-82t+2391   [16,61]
F(x)=-0,1t^4/4+8t^3/3-41t^2+2391t
Einsetzen 61 - 16= 246.322,54800329

Liebe Grüße und schon mal danke im voraus! ❤

Answer 1

Zu (1), hier muss folgendes berechnet werden

$$ \frac{1}{b-a} \int_a^b F(t) dt  $$ mit  \( a= 16 \) und \( b= 61 \)

zu (2)

$$ F'(t) = 0 $$ auflösen nach \( t\) und überprüfen mit der zweiten Ableitung

zu (3)

folgt aus (2)

zu (4)

folgt ebenfalls aus (2)

zu (5)

$$  F'(18) $$ berechnen

Comments

Vielen lieben Dank für die ausführliche und hilfreiche Erklärung! Ich habe nun anhand deiner Hilfestellung folgende Ergebnisse berechnen können, bin mir aber nicht ganz sicher ob das so stimmt ... dürfte ich so frech sein, dich zu bitten, da drüberzusehen, ob mir doch irgendwo fehler unterlaufen sind? Nochmal vielen Dank!

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2) und 3) sind doch auch falsch?

bei 2) wird nach 47,59 ein lokales Maximum erreicht?

bei 3) sind im lokalen Maximum sind 5828,86 Stück auf Lager?

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Das dachte ich vorhin auch aber wenn man die zweite Ableitung bildet und die 47 darin einsetzt bekomme ich ein negatives Ergebnis - bedeutet das nicht, dass es sich um ein Maximum handelt? Oder habe ich es wieder verkehrt ? /.\ und danke für deine freundliche Antwort!

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@jacksonfive danke nochmal für den Hinweis! Ich hatte es mal wieder verkehrt, und du magst richtig- es handelt sich im Beispiel um ein Maximum, daher waren alle Antworten falsch! :) danke nochmal an alle, die mir geholfen haben diese Aufgabe zu lösen!!

Answer 2

f ( t ) = -0,1t^3 + 8*t^2 -82*t + 2391
Stammfunktion
S ( t ) = -0,1/4 * t^4 + 8/3 * t^3 -82/2 * t^2 + 2391 * t

Die Fläche unterhalb der blauen Kurve wird
ermittelt durch
F ( x ) = [ S ( x ) ] zwischen 16 und 61
F = 215382.375

Der durchschnittliche Lagerbestand ist
F / ( 61 - 16 ) = 4786

Die Flächen 4786 * 45 ( Fläche unterhalb der roten
Geraden ) und die Fläche unterhalb der blauen
Kurve sind identisch.

Comments

Vielen Dank für deine schnelle und hilfreiche Antwort! Die Grafik hilft sehr! Aber dennoch bin ich etwas verwirrt  da ich 47,59 als Minimum berechnet habe, aber da die passabel nach unten geöffnet ist, sollte das nicht ein Maximum darstellen? Oder bedeutet das einfach nur, dass es das lokale Minimum ist und die Funktion später wieder steigt? :)

Liebe Grüße und nochmals vielen Dank!

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f ( t ) = -0,1t^3 + 8*t^2 -82*t + 2391

f ´( t ) = -0,3t^2 + 16*t -82
Stelle mit waagerechter Tangente
-0,3t^2 + 16*t -82 = 0
Lösungen
x = 5.74
und
x = 47.59
Min oder Max ?
2.Ableitung
f ´´ ( t ) = -0,6*t + 16

f ´´ ( 5.74 ) = -0,6*5.74 + 16 = 12.56
=> positiv = Linkskrümmung = Tiefpunkt

f ´´ ( 47.59 ) = -0,6*47.59 + 16 = - 12.55
=> negativ = Rechtskrümmung = Hochpunkt
( siehe den Graph )

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Super! Vielen, lieben Dank für die Erklärung, die Rechtskrümmung hat mich vorhin wohl verwirrt! :)

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Hier die Ergebnisse meines Matheprogramms.
Rot = Eingabe
Blau = Ergebnis

1.Zeile : die Funktion
2. Stammfunktion
3. Flächenfunktion zwischen 16 und 61
4 . Durchschnittswert zwischen 16 und 61
5. 1.Ableitung von f : f1
6. Min-Max berechnen
Min ist bei x = 5.74
Max ist bei x = 47.59
5. Bestand bei x = 5.74
6. Bestand bei x = 47.49 | 5828
und überschreitet damit 2164.
7. Momentanes Wachstum = 1.Ableitung
bei t = 18 = 108.8 Stück

Die ganze Aufgabe ist etwas wirre.
Ein paar Ergebnisse stimmen mit den
Lösungsvorschlägen so gar nicht überein.

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Vielen lieben Dank für die ausführliche Erklärung! Jetzt ist mir alles klar :)