Parameteraufgaben (Berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Achsen sowie ....)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist für jede Zahl a ≥ 0 die Funktion fa. Berechne Sie die Schnittpunkte mit den Achsen sowie die Hoch- und Tiefpunkte in Abhängigkeit von a.

a) fa(x)=x^3-a•x        b) fa(x)=x^2-a•x-1

Problem/Ansatz:

Ich lerne für meine Matheklassenarbeit und bräuchte Hilfe bei diesen Aufgaben .

Answer 1

a)

Nullstellen:$$f_a(x)=x^3-ax\overset{!}=0$$ Nullproduktsatz:$$x^3-ax=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x(x^2-a)=0$$ Die Nullstellen sind demnach \(x_{1}=0 \quad \vee \quad x_{2,3}=\pm a\)

Extremstellen:$$f_a'(x)=3x^2-a\overset{!}=0$$$$3x^2=a$$$$x^2=\frac{1}{3}a$$$$x_{1,2}=\pm\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3}}$$ $$f_a''(x)=6x$$ D. h., dass die negative Lösung von \(f_a'(x)=0\) ein Maximum ist und die positive Lösung von \(f_a'(x)=0\) ein Minimum!

Die b) kannst Du ja einmal selbst versuchen!

Answer 2

fa(x)=x^3-a•x     Erst mal a>0

Schnitt mit x-Achse      x^3-a•x      =  0

                                     x*(x^2 - a ) = 0

                                x=0  oder   x=√a    oder  x =  -√a

Schnitt mit y-Achse   (0;0).

Extrempunkte     f ' (x) = 3x^2 - a = 0

                                          x^2 = a/3

                                            x = ±√(a/3 )

f ' ' (x) = 3x  also ist f ' ' (√(a/3) ) > 0 , also Tiefpunkt bei (√(a/3) / fa(√(a/3)).

an der anderen Stelle entsprechend Hochpunkt.

Für a=0 ist es einfach nur x^3 . Also Achsenschnittpunkte bei (0;0) und

keine Extrempunkte.

Answer 3

a) fa ( x ) = x^3 -a * x
Nullstelle
x^3 -a * x = 0
ausklammern
x * ( x^2 - a ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
x^2 - a = 0
x^2 = a
x = ± √ a

Schnittpunkt mit der y-Achse
fa ( x ) = x^3 -a * x
fa ( 0 ) = 0^3 -a * 0 = 0
( 0 | 0 )

Stellen mit waagerechter Tangente
1.Ableitung
fa ´( x ) = 3 * x^2 - a
3 * x^2 - a = 0
3 * x^2 = a
x^2 = a/3
x = ± √ (a/3)

y_wert
fa ( x ) = x^3 -a * x
fa = ( √ (a/3) ) = √ (a/3)^3 -a * √ (a/3)
( √ (a/3) | √ (a/3)^3 -a * √ (a/3) )

(  - √ (a/3) | (-√ (a/3))^3 -a * - √ (a/3) )
(  - √ (a/3) | (-√ (a/3))^3 + a * √ (a/3) )

2.Ableitung
fa ´´( x ) = 6 * x
Die Krümmung am ersten Punkt ist positiv. Tiefpunkt
Die Krümmung am zweiten Punkt ist negativ. Hochpunkt