Vektorrechnung: Für welche a bilden v1=(2/a/2) v2= (0/a/-3) v3=(1/0/a) eine Basis des R^3?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren:

v = \( \begin{pmatrix} 2\\a\\2 \end{pmatrix} \) v= \( \begin{pmatrix} 0\\a\\-3 \end{pmatrix} \) v= \( \begin{pmatrix} 1\\0\\a \end{pmatrix} \)

Kann a so gewählt werden, dass die Vektoren eine Basis des R³ bilden?

Problem/Ansatz:

Basis R hoch 3 bedeutet ja dass die Vektoren linear unabhängig sind.... somit kann ich die Aufgabe doch über das Spatprodukt lösen indem ich voraussetze dass es ungleich null ist.

a*(b x c) ≠ 0

Die zugehörige Gleichung sieht dann so aus:

2a² - 3a -2a ≠ 0

daraus folgt ja einmal a≠ 0 und einmal a≠ 2,5

Nun tue ich mir beim Antwortsatz allerdings schwer.....

Ist es nun so dass die Basis gebildet wird für a ≠ 0 und 2,5 oder für alle a die nicht ungleich 0 und 2,5 sind?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Vektorrechnung: Für welche a bilden v1=(2/a/2) v2= (0/a/-3) v3=(1/0/a) eine Basis des R^3?

Stichworte: vektoren,basis,determinante

Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren v1=(2/a/2) v2= (0/a/-3) v3=(1/0/a)

Für welche a bilden die Vektoren eine Basis des R^3?

Problem/Ansatz:

Ich habe das Spatprodukt ausgerechnet und erhalte für a einmal a1=0 und einmal a2= 2,5

Bilden sie für diese Werte nun eine Basis oder für alle Werte welche nicht die obigen 2 sind?

Vielen Dank

Lg

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Answer 1

a*(b x c) ≠ 0

Die zugehörige Gleichung sieht dann so aus:

2a2 - 3a -2a ≠ 0

daraus folgt ja einmal a≠ 0 und einmal a≠ 2,5

D.h. a ist weder 0 noch 2.5 .

Nun tue ich mir beim Antwortsatz allerdings schwer.....

Ist es nun so dass die Basis gebildet wird für a ≠ 0 und 2,5 oder für alle a die nicht ungleich 0 und 2,5 sind?

Sie bilden eine Basis, wenn a weder 0 noch 2.5 ist, d.h. für a ∈ℝ \ {0, 2.5}

Answer 2

Das kannst du gleich rechnen wie z.B. hier https://www.mathelounge.de/600320/fur-welche-bilden-die-vektoren-v1-v2-und-v3-eine-basis-des-r