Das Volumen der gleichen Menge mit verschiedenen Koordinaten berechnen

Question

ich muss das Volumen von dieser Menge berechnen

ich habe es am Anfang mit den normalen kartesischen Koordinaten berechnet

nämlich so :

\( \int\limits_{-2}^{2} \) \( \frac{π}{16} \) (4-y²)dy und kam auf \( \frac{2}{3} \)π

allerdings wollte ich die gleiche Rechnung mit Kugelkoordinaten machen, damit ich sehe ob ich das mit Kugelkoordinaten verstanden habe und habe mein Integral auf folgendes transformiert

\( \int\limits_{0}^{2π} \) \( \int\limits_{0}^{π} \) \( \int\limits_{0}^{1} \)1/2 r²cos(Θ)drdΘdα allerdings kommt bei diesem Integral 0 raus ! wegen sin(pi) und sin(0) ! könnte mir jemand sagen wo der Fehler liegt ? und was ich falsch gemacht habe ?

die 1/2 vor  r²cos(Θ) ist a mal b mal c

Das wird mir wirklich sehr gut helfen !

Dankeschön

Comments

ich brauche euch :( =)

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Hallo

 wie kommst du zu der eigenartigen Formel in Kugelkoordinaten

es scheint mir du integrierst über eine Kugel?  wo kommt da das Ellipsoid rein? warum cos(fi) und nicht sin(fi)

Gruß lul

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Hallo

ich habe folgende Parametrisierung für einen Ellipsoiden verwendet :

\( \begin{pmatrix} arcos(α)cos(Θ)\\brsin(α)cos(Θ)\\crsin(Θ) \end{pmatrix} \)

die Funktionaldeterminante wäre dann abcr²cos(Θ) oder?

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Hallo

 mit θ von 0 bis pi. geht ja  dein z von  0 bis 0, kein Wunder dass dein Integral 0 wird, also lass θ von -pi/2 bis pi/2 laufen,  oder du musst cos(θ)  und sin(θ) in deiner Parametrisierung tauschen, und die Grenzen lassen.

Gruß lul

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Das ist genau der Punkt ! was ist damit gemeint dass mein z von 0 bis 0 geht ? also ich mein wie könnt ihr das sehen ? oder wie wisst ihr das ? weil ich habe auch eine andere Aufgabe vorgerechnet und der Tutor hat genau diesen Satz gesagt haha aber ich verstehe immer noch nicht was damit gemeint war bzw. wie du jetzt meinst ^^ könntest du vielleicht skizzieren was du meinst oder ein bisschen erklären weil ich verstehe nicht wirklich :(

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Hallo

 du hast für z angegeben z=c*r*sin(θ) und dann θ von 0 bis pi, eingesetzt ergibt das für θ=0:  c*r*sin(0)=0  und ebenso für θ=pi.

Gruß lul

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Ach so also ich muss einfach schauen , dass ich kein 0 erhalten kann und als alternativ wäre von -pi/2 bis pi/2 auch möglich und dann kommt das richtige raus

vielen Dank !

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Hallo

keine Null erhalten ist so nicht richtig, z muss ja von -c bis +c gehen, also ist es dazwischen natürlich auch 0. Zusätzlich kann man kontrollieren , ob bei z=-c und +c x=y=0 ist.

Gruß lul