Fakultäten und Stirlingsche Formel

Question

Aufgabe:

(1000! über 500!)

Man soll abschätzen welcher wert hier herauskommt... als Tipp wurde noch gegeben das die vereinfachte Stirlingsche Formel ausreicht:

ln(n!) = n * ln(n) - n

Das Ergebnis soll dann 2,7 * 10^299 sein

Comments

... als Tipp wurde noch gegeben das die vereinfachte Stirlingsche Formel ausreicht:

dann kommt ein um etwa den Faktor 40 zu hoher Wert heraus. Was bei der Größenordnung aber vielleicht gar keine Rolle spielt!

Das Ergebnis soll dann 2,7 * 10^{299} sein

das ist korrekt, voraus gesetzt Du meinst \({1000 \choose 500}\) und nicht  \({1000! \choose 500!}\)

Aber was ist denn eigentlich Deine Frage bzw. Dein Problem?

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Es soll 1000 über 500 sein. Mein Fehler

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Was ich nicht verstehe ist wie man das Ohne einen Taschenrechner ausrechnet... Nur mit stift und Papier bin ich einfach überfordert wie man vorgehen soll

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... wie man das Ohne einen Taschenrechner ausrechnet

Darfst Du Logarithmentafel oder Rechenschieber nutzen? \(\ln(500)\) bzw. \(\ln(1000)\) mit Papier und Stift ohne weitere Hilfsmittel zu berechnen ist möglich, aber sehr aufwendig!

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Dürfen wir sogar allerdings haben wir nur ln 10 ln 100 und ln 2 gegeben mehr leider auch nicht. Danke für den Tipp! Bis jetzt bin ich damit soweit gekommen.

(Ich hoffe man erkennt alles)

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Mit dieser Abschätzung komme ich auf 2¹⁰⁰⁰.

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Dann muss ich wohl irgendwo einen heftigen Fehler gemacht haben...

Answer 1

ich erhalte folgende Abschätzung:

$$ ln(\begin{pmatrix} n\\n/2 \end{pmatrix})=ln(\frac{n!}{((n/2)!)^2})\\ =ln(n!)-2ln((n/2)!)≈ n(ln(n)-1)-2\frac{n}{2}(ln(n/2)-1)\\ = n(ln(n)-1)-n(ln(n)-ln(2)-1)\\ =n*ln(2)\to \begin{pmatrix} n\\n/2 \end{pmatrix}≈ e^{n*ln(2)}=2^n $$

Comments

Ich sehe keinen Fehler. Ich weiß aber das 2,7 * 10^299 rauskommen muss, die Aufgabe ist aus einer Probeausgabe gewesen und es gab wohl genug Leute die das raus bekommen haben

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dann musst du die Originalaufgabe nachliefern. Wir wissen nicht, was alles gegeben ist bzw. nicht.

Ich weiß aber das 2,7 * 10^(299) rauskommen muss

Das kann nicht sein. 
2,7 * 10^(299) ist das exakte Ergebnis, was wolfram alpha für (1000 über 500) angibt.
Erwartest du, dass man dieses genaue Ergebnis mit einer Abschätzung erreicht? Zumal Stirling im Bereich n=500 auch nicht so präzise nähert, die Abweichung wird beim Potenzieren mit e nochmal größer.

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Fals es zu unscharf ist in den Exponenten steht 299; 312; 318; 324

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Na das ist multiple choice, das machts leichter ;). Wenn du nun meine Abschätzung nimmst, dann erhältst du

2^(1000)=10^(lg(2)*1000)=10^(ln(2)/ln(10)*1000)=10^(300)

Das einzige Ergebnis in dessen Nähe ist a). Also ist a) richtig.

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Oh mein Gott bin ich bescheuert -.- 
Vielen dank für deine Hilfe hätte ich gewusst das man das so einfach abschätzen kann hätte ich direkt die Aufgabe gepostet.

Danke euch allen