Seien A, B, C und D beliebige Mengen. Zeigen Sie, dass Folgendes gilt:

Question

Aufgabe (Zeige):

$$(A\cap C)\cup(B\cap D) \subset (A\cup B)\cap(C\cup D)$$

Problem:

Was müsste noch gezeigt werden, damit Gleichheit gilt? Zeige oder widerlege diese Gleichheit.

Comments

Also mit Venn-Diagrammen gezeichnet sieht man es aber du brauchst wohl einen Formalen Beweis....

Answer 1

Also ich bin hier jemand der normalerweise viele Fragen stellt aber irgendiwe habe ich da eine Idee wie das klappen könnte.
Ich bin mir sicher, dass es noch formaler und gründlicher ginge aber meine Idee ist das was links steht zu "zerpflücken" und einzeln zu überprüfen ob es rechts enthalten ist.  

Zu zeigen ist: \( (A∩C)∪(B∩D) \,⊂\, (A∪B)∩(C∪D) \)

Wenn..                 Dann mit Sicherheit auch... 
A ⊂ (A∪B)             (A∩C) ⊂ (A∪B)
C ⊂ (C∪D)            (A∩C) ⊂ (C∪D)
B ⊂ (A∪B)             (B∩D) ⊂ (A∪B)
D ⊂ (C∪D)            (B∩D) ⊂ (C∪D)

Beachte,
dass das, was auf der linken Seite steht eine "grössere" Menge ist, deswegen steht rechts dass "mit Sicherheit" das was rechts steht auch in derselben Menge enthalten ist, weil sie kleiner (aber doch und insbesondere darum enthalten) ist

Wie weiter ?
Jetzt sehen wir rechts zwei "kleine Mengen" die in (A∪B) enthalten sind. Aber auch zwei "kleine Mengen" rechts  die in (C∪D)
 enthalten sind. 

Es gilt also, 
(A∩C) ⊂ (A∪B) und (B∩D) ⊂ (A∪B)  ⇒ (A∩C) ∪ (B∩D) ⊂ (A∪B). (1)
(A∩C) ⊂ (C∪D) und (B∩D) ⊂ (C∪D) ⇒  (A∩C) ∪ (B∩D) ⊂ (C∪D). (2) 

Wenn wir (1) und (2) zusammenfassen, 
(A∩C) ∪ (B∩D) ∩ (A∩C) ∪ (B∩D) ⊂ (A∪B) ∩ (C∪D) 
= (A∩C) ∪ (B∩D) ⊂ (A∪B) ∩ (C∪D) wzzw.