X^2+2x<3; 4x<x^2 und (x+2)*e^2x>0 Ungleichungen lösen

Question

Aufgabe:

Ich wäre sehr dankbar wenn man mir sagen kann wie diese ungleichungen gelöst werden.

Verstehe überhaupt nicht wie man die Lösungsmenge bestimmt bzw. wie man erkennt, dass x<Zahl  oder x>Zahl ist?!

Answer 1

\(e^{2x}\) kann nie null bzw. kleiner null werden. Für x=0 kommt 1 heraus. Für x=-10 eine sehr kleine Zahl, aber noch immer positiv. Mit was immer also \(e^{2x}\) multipliziert wird, die e-Funktion wird niemals für einen Vorzeichenwechsel verantwortlich sein, oder dafür sorgen, dass das gesamte Produkt null wird.

Schauen wir uns den anderen Faktor an. x+2 > 0 umgeformt ergibt x > -2. Also ist diese Ungleichung für \(\forall x > -2\) erfüllt.

Für die quadratischen Ungleichungen könntest du alle Terme auf eine Seite bringen, sodass du z.B. für \(4x<x^2 \Leftrightarrow 0<x^2-4x\) erhältst. Dann bestimmst du die Nullstellen, in diesem Fall \(x_1=0,\, x_2=4\). Übersichtlich können wir die Funktion nun faktorisieren und erhalten \(x(x-4)>0\). Jetzt haben wir zwei Möglichkeiten, einmal \(x > 0\) und einmal \(x-4 > 0 \Leftrightarrow x > 4\). Also ist die Ungleichung auf \((-\infty,0) \vee (4,\infty)\) erfüllt.

Comments

Woher weiß man ob die Kurve oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft ohne es zeichnen zu müssen?

2x>x²

2x-x²>0 | Ausklammern

x(2-x)=0

x1=0 und x2=2

-> x(2-x)>0

x>0

und 2-x>0|-2

-x>-2 |*(-1)

x<2

Stimmt es so ???

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Korrekt. Für \(0 < x <2\) bzw. auf \(]0,2[\) ist die Ungleichung erfüllt.

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Die Lögik der Lösung ist nicht korrekt:

x·(2-x)>0  ist wahr, wenn die Faktoren x und 2-x  des Produkts beide positiv (deine Lösung) oder beide negativ sind.

x < 0 und 2-x < 0   ⇔  x<0 und x>2  ergibt aber hier keine weiteren Lösungen.

Anders:

2x>x²
2x-x² > 0 | Ausklammern
x(2-x)=0
x₁=0 und x₂=2

Der Parabelterm gehört zu einer nach unten geöffneten Parabel  ( Minuszeichen vor x² )  →  er ist zwischen den Nullstellen positiv → L = ] 0 ; 2 [

Answer 2

Hallo Fataha,

x² + 2x < 3   

⇔  x² + 2x - 3 < 0  ⇔  (x -1) · (x+3) < 0

Der Parabelterm hat die Nullstellen  x₁ = 1 und  x₂ = -3

              (Nullproduktsatz oder pq-Formel)

Er gehört zu einer nach oben geöffneten Parabel  →  negative Werte zwischen den Nullstellen

→  L  =  ] -3 ; 1 [ 

4x < x²   

⇔  x² - 4x > 0  ⇔  x · (x - 4) > 0 

Der Parabelterm hat die Nullstellen  x₁ = 0  und  x₂ = 4  (Nullproduktsatz)

Er gehört zu einer nach oben geöffneten Parabel  →  positive Werte links und rechts von den Nullstellen

→  L  =  ] -∞ ; 1 [ ∪ ] 4 ; ∞ [  

(x+2) · e^2x  > 0

e^2x ist für alle x größer als 0. Das Produkt ist also nur positiv, wenn auch der zweite Faktor x+2 positiv ist, das heißt für x > -2

→  L = ] -2 ; ∞ [

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

danke für den ausführlichen Lösungsweg aber könntest du mir erklären wieso

4x < x2 

x2 - 4x > 0

ändert sich hier das Vorzeichen von < zu > und bei den anderen beiden nicht??? 

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4x  <  x²         |  -4x

0  <  x² - 4x    | Ungleichung drehen

x² - 4x  >  0

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Also man muss die Ungleichung umdrehen wenn man etwas von der linken Seite auf die rechte Seite rüberbringt bzw. mit Minus und für plus muss man es nicht... Verstehe ich es richtig?