Eindeutige Lösbarkeit LGS, Kern = 0

Question

Es sei A∈Mat(m,n;K) eine Matrix und A*x=b ein Gleichungssystem.

φ:Kⁿ -> K^m , x↦A*x sei eine lineare Abbildung.

Warum ist der Kern(φ)=0, wenn ein LGS eindeutig lösbar ist?

Answer 1

Kern(φ) enthält die Lösungen von Ax=0.

Wenn a eine Lösung von A*x=b ist und z aus Kern(φ)

dann ist a+z auch eine Lösung von Ax=0.

Da es nur eine gibt, gibt es für die  z aus Kern(φ)

nur die Möglichkeit z=0.

Comments

Ah stimmt, denn es gilt dann ja

A*(a+z)=A*a+A*z=φ(a)+φ(z)=b+0=b.

Und damit a+z eindeutig bestimmt ist, muss z=0 gewählt werden.