Handelsstrategie konstruieren für eine europäische Call-Option mit Basispreis und Auszahlung

Question

Aufgabe: Gegeben sei ein einperiodiger Finanzmarkt bestehend aus einem Bond mit B₀=1, B₁=1.02 und einer Aktie, deren Preis sich für p ∈ (0,1) folgendermaßen entwickelt:

S₀=100  → S₁= 140 (mit Wahrscheinlichkeit p) 

S₀=100 → S₂= 75 (mit W. 1-p)

a) Konstruiere für eine europäische Call-Option mit Basispreis K=120 und Auszahlung H=(S₁-K)₊ eine Handelsstrategie φ=(α,β) ∈ ℝ² mit V_1φ=H.

b) Berechne den Ausgabepreis π(H)= V_0φ

…

Problem/Ansatz: ich würde mich über jede Art von Hilfe und Ansatz freuen. Ich bin noch nicht ganz vertraut mit dem Fach Finanz- und Verischerungsmathematik..Im Grunde habe ich verstanden worum es geht.. Die ganzen neuen Begriffe und Formeln verwirren mich jedoch etwas und ich weiß daher nicht wie ich anfangen soll..

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Comments

Eine sehr spezifische Aufgabe, bei der man die Materie genau kennen muss.

Ich glaube kaum, dass dir jemand helfen kann, wenn du den Sachverhalt nicht näher erklärst, sodass ihn auch eine Laie verstehen kann. Am besten wäre ein anschauliches  Beispiel.

Answer 1

Hi AK14,

die Call-Option bietet dir die Möglichkeit (aber verpflichtet nicht), die Aktie zum Zeitpunkt \(t = 1\) für 120€ zu kaufen.

Geht der Wert der Aktie hoch, so kannst du also die Aktie billiger kaufen und direkt wieder verkaufen um eine Differenz von 140€ - 120€ = 20 € als Gewinn zu verbuchen. Sinkt die Aktie jedoch, bringt dir das ganze nix und du würdest von deinem Recht die Aktie für 120€ zu kaufen keinen Gebrauch machen (da sie ja nur 75€ Wert ist).

Ziel der Aufgabe ist es nun den einen fairen Preis für die Option zu ermitteln. Hierzu wird die Option mit Hilfe der Aktie und dem Bond repliziert. Dies geschieht in zwei Schritten:

a) du ermittelst zuerst die Position (hier Handelsstrategie) bzgl. Aktie und Bond um die Auszahlung der Option zu replizieren. Hier beachtest du jeweils beide Fälle (Aktie geht hoch bzw. Aktie geht runter). Dafür suchst du also \( (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2 \), die das folgende Gleichungssystem lösen:

$$\begin{aligned}20 &= 140\alpha + 1.02\beta  \\ 0 &= \ \ 75\alpha + 1.02\beta \end{aligned}$$

b) der (faire) Ausgabepreis der Option entspricht dann dem Wert deiner Position zum Zeitpunkt \( t = 0\), welchen du direkt durch einsetzen berechnen kannst:

$$ \pi (H) = S_0 \cdot \alpha + B_0 \cdot \beta $$

Gruß,

Yakyu

PS: Ich bin jetzt davon ausgegangen, dass \( \alpha\) die Position bzgl. der Aktie und \(\beta\) die Position bzgl. des Bonds ist. Prüf das bitte selbst nochmal nach.

Comments

Ich habe wirklich alles verstanden, was du erklärt hast. ich bedanke mich sehr für deine Hilfe.

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Hey ich habe da noch eine Frage..

Undzwar lautet die Aufgabe:

Gegeben sei ein einperiodiger Finanzmarkt bestehend aus einem Bond B0=1, B1=1,06 und einer Aktie, deren Preis sich für p1,p2,p3 ∈ (0,1) mit p1+p2+p3=1 folgendermaßen entwickelt.

S0 = 100 → S1 = 120

S0=100 → S2 = 100

S0=100 → S3 = 90

Es sollen 15 europäische Call- Optionen mit Auszahlung H = (S1-K)+ an den Markt gebracht werden.

a) Bestimme alle Basispreise K ∈ [90,120) für die es eine Handelsstrategie φ mit V1φ= 15H

b) Bestimme den Ausgabepreis π(H)= V0φ eines einzelnen Calls.

Ich habe mir also folgendes uberlegt:

Man muss irgendwie rückwärtsrechnen, weil man ja den Basispreis ermitteln möchte.

Also habe ich zuerst

S1-90 = {30,10,0} und

S1-119 = {1,-19,-29} und weil -19 und -29 keinen gewinn bringen habe ich stattdessen 0 hingeschrieben also {1,0}

Dann habe ich einmal das GLS fur den Basispreis 90:

β0 + 120*α0 = 30

β0 + 100*α0 = 10

β0 + 90*α0 = 0

Daraus folgt dann β0 =-90 und α0=1

Und das GLS für den Basispreis 119:

β0 + 120*α0 =1

β0 + 90*α0 =0 

=> β0 = -3 und α0= 1/30

Danach habe ich auch die Ausgabepreise für beide Basispreise ermittelt:

Einmal 10 und einmal 1/3 .

Irgendwie bin ich verwirrt, es kommt mir auch ziemlich falsch vor, aber ich hab halt versucht iwas zu machen.

Ich würde mich über paar Ansätze freuen.

Lg

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Ok lass uns da darüber reden (aber grundsätzlich ist es vielleicht besser für sowas eine neue Frage aufzumachen - wegen der Übersichtlichkeit).

Du hast schon ein paar gute Ansätze gewählt, um ein Gefühl für die Aufgabe zu bekommen, allerdings mehrere Fehler gemacht. Auf diese gehe ich am Ende noch mal ein.

Zur Aufgabe:

Die Wahl der Indizes ist bisschen verwirrend, da nicht klar zwischen Zeitschritt und Eintrittsfall unterschieden wird. Deswegen versuch ich das ganze mal aufzulockern:

a) Wir betrachten den Zeitpunkt \( t = 1\) und wollen die 15 Calls replizieren. Um alle Basispreise \(K \in [90, 120)\) zu finden, für die es die gewünschte Handelsstrategie gibt, können wir in einem ersten Schritt ja die Fälle durchgehen.

Fall 1 \((p_1)\) tritt ein: Option wird dann genutzt, da Aktienpreis mit 120 € auf jeden Fall über dem Basispreis liegt. Der Gewinn ist dann \(15 \cdot (120 - K)\) natürlich abhängig vom Basispreis. (Der Faktor 15 kommt daher, dass wir ja den Wert von dem Optionenbündel bestimmen möchten).

Gleichung I: \(15 \cdot (120 - K) = 120\alpha + 1.06\beta\)

Fall 3 \((p_3)\) tritt ein: Option wird nicht genutzt, da Basispreis gleich dem Aktienpreis von 90€ oder höher liegt. Der Gewinn ist in dem Fall also \(0\).

Gleichung III: \(0 = 90\alpha + 1.06\beta\)

Fall 2 \(p_2\) tritt ein: Dann ist der Aktienpreis bei 100 €. Jetzt müssen wir aufpassen, da zwei Unterfälle eintreten können. Ist \(K € [100, 120) \), dann würden wir die Option nicht nutzen, d.h.

Gleichung IIa: \(0 = 100\alpha + 1.06\beta\)

Wenn du allerdings das Gleichungssystem I, IIa und III versuchst zu lösen, wirst du sehen, dass es keine Lösung gibt. Das heißt \(K \in [100, 120)\) können wir schon mal ausschließen.

Ist \(K \in [90, 100)\), so würden wir die Option auch in diesem Fall nutzen. Der Gewinn wäre \(15 \cdot (100 - K) \). Dies führt zu

Gleichung IIb: \(15 \cdot (100 - K) = 100\alpha + 1.06\beta\)

Es bleibt das Gleichungssystem I, IIb und III auf Lösungen zu überprüfen.

b) Betrachte den Zeitpunkt \( t = 0\). Benutze deine Lösung aus Aufgabe a) um den Ausgabepreis der 15 Calls zu berechnen. Dir ist sicher klar wie du danach auf den Ausgabepreis eines Calls kommst.

Zu deinem Ansatz:

Wenn du bis hierhin gekommen bist sind dir wahrscheinlich folgende Fehler bei denen Gleichungssystemen aufgefallen:

1. Der Wert des Bonds (also der Faktor vor \(\beta\)) fehlt.

2. Du replizierst nur eine Option (nicht den Wert aller 15).

3. Beim Test K = 119 hast du den Fall 2 gar nicht berücksichtigt (hier wäre dir aufgefallen, dass es für so einen Preis keine Handelsstrategie gibt).

Ich hoffe das hilft dir erstmal weiter.

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OOkay also ich war verwirrt, weil wir in der Vorlesung komplexere Beispiele gemacht haben . Daher habe ich mich an denen orientiert.. ich habe zwar alles verstanden, aber wenn ich das GLS löse,kommt irgendwie was falsches bei raus... ich habe mir die Rechnung nochmals angeguckt aber keinen Fehler gefunden.. vielleicht habe ich ja iwas übersehen?! 

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Da ist im ersten Schritt ein Fehler. Wenn du I + IIb rechnest, muss da noch -30K stehen. Das willst du aber sicher nicht. Ich würde eher I - IIb rechnen. Dann eliminiert du K und beta auf einen Schlag.