Welche der gegebenen Folgen komplexer Zahlen konvergiert usw?

Question

Welche der gegebenen Folgen komplexer Zahlen ist beschrankt bzw. konvergent? Geben
Sie ggf. alle konvergenten Teilfolgen bzw. den Grenzwert an.

Yn= (\( \frac{1+i}{2} \))ⁿ

Ich stehe bei der Aufgabe gerade komplett auf dem Schlauch.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Exponentialform

Die Begriffe kann man nachschlagen.

Answer 1

schreibe y_n in Exponentialform, dann kannst du alles ablesen.

Comments

Wie sieht das dann aus?

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Habe ich vorher noch nie auf die Art gemacht

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Einmal ist immer das erste mal.

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Stimmt, aber wenn es mir noch nie jemand gezeigt hat, ist das relativ schwierig sich vorzustellen. Das ist quasi wie aus einem Labyrinth ohne Ausgang zu entkommen

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(1+i)/2=1/√2 *e^{i*π/4}

---> y_n = ((1+i)/2)^n=(1/√2)^n *e^{i*nπ/4}

Der Radius wird immer kleiner (da 1/sqrt(2)<1). Also ist y_n beschränkt mit c=1/sqrt(2)

Da der Radius gegen 0 strebt, geht die Folge gegen 0.

lim n---> ∞ y_n = 0

Answer 2

Hallo

Berechne den Betrag, wenn der konvergiert, dann auch die Folge.

Gruß lul

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Das ist mein Rechenweg bisher

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Unterscheide Folgen und Reihen. Du hast nicht den Betrag der Folgenglieder ausgerechnet.

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Berechne den Betrag, wenn der konvergiert, dann auch die Folge.

Das ist wohl falsch:

Betrachte  y_n = iⁿ       (  i , -1 , -i , 1 , i ... )

 | iⁿ |  = 1    ,   y_n konvergiert aber nicht

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Woher weißt du, dass in nicht konvergiertrtiert?

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vier verschiedene Folgenglieder wiederholen sich ständig in der Reihenfolge   i , -1 , -i , 1 , i ...

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Ja, aber dass ist ja genau meine Frage: wie kommst du darauf?

Ich steh gerade echt auf dem Schlauch. Sry

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Mache das, was jc2144 vorgeschlagen hat.

Answer 3

Hallo Gustav,

( (1+i)/2 )ⁿ  = (1/2 + 1/2 i)ⁿ  = (a + bi)ⁿ  = (r · e^{i · φ})ⁿ  =  rⁿ · (e^{i · φ})ⁿ 

        mit a = b = 1/2  ,  r = √(a² + b²)   und  φ = arccos( a/r )

   →  r = √( 1/2) = 1/√2   und  φ =  arccos( (1/2) / (1/√2 ) ) = arccos( 1/2 · √2) = π/4 

   →  limn_→∞  ( (1+i)/2 )ⁿ  = lim_n→∞  [ (1/√2)ⁿ · (e^{i · π/4})ⁿ ]  =   lim_n→∞  [ (1/√2)ⁿ · (e^{i · π})^n/4 ]  

                                  =  lim_n→∞  [ (1/√2)ⁿ · (-1)^n/4 ]   = 0 

Gruß Wolfgang