Vollständige Induktion von k^2

Question

Aufgabe:

Kurze Frage zur vollständigen Induktion:

n
∑ k^2=(1/6)n(n+ 1)*(2n+ 1)
k=0

Der Induktionsschritt für A(n+1) also n=n+1 ist (1/6)*(n+1)*(n+2)*(2n+3).

Problem/Ansatz:

Möchte ich jetzt beweisen, dass es das gleiche ist wie A(n)+ (n+1)^2 funktioniert das prima für A(n) + (n+1) aber nicht für A(n) + (n+1)^2.

So wie ich das verstanden habe, muss es jedoch (n+1)^2 sein, wegen k^2.

Vielleicht hat jemand eine Idee?

Answer 1

A(n+1) - A(n) =

1/6(n+1)(n+2)(2n+3) - 1/6n(n+1)(2n+1) =
1/6(n+1)[ (n+2)(2n+3) - n(2n+1) ] =
1/6(n+1)[ 2n^2+4n+3n+6 - 2n^2-n ] =
1/6(n+1)[ 6n + 6 ] =
(n+1)*(n+1) =

(n+1)²  q.e.d

Comments

D.h. A(n) + (n+1) = A(n+1) - A(n) ? Gut zu wissen!

Answer 2

A(n+1)= A(n)+(n+1)^2

$$\sum \limits_{k=0}^{n+1}k^2=\sum \limits_{k=0}^{n}k^2+(n+1)^2$$

$$=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+(n+1)^2$$

$$=(n+1)[\frac{1}{6}n(2n+1)+(n+1)]$$

$$=(n+1)[\frac{1}{6}(n(2n+1)+6n+6))]$$

$$=(n+1)[\frac{1}{6}(2n^2+7n+6)]$$

$$=(n+1)[\frac{1}{6}(2n+3)(n+2)]$$

$$=\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)$$

Comments

Danke für die Antwort. Ich kann allerdings nicht nachvollziehen, warum in Zeile 3 das Quadrat plötzlich verschwunden ist. Sie haben die Faktoren (n+1), 1/6, n und (2n+1) vertauscht, aber eigentlich müsste dann doch  ... + (n+1)^2 da stehen? 

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Ich habe wohl übersehen, dass Sie (n+1) ausgeklammert haben.