Disjunktheit von Mengen

Question

Eine Frage zum Thema der Disjunktheit bei Mengen. Klar ist mir der Begriff, wenn er bei Mengen mit "einfachen" Elementen benutzt wird.

Beispiel: A={1;2;4;6} und B = {3;5}. A und B sind disjunkt, da gilt: A∩B= ∅.

A₁={1;2;4;6} und B₂ = {2;5} wären hingegen nicht disjunkt, da gilt A₁ ∩ B_{1 =} {2}.

Betrachtet man jetzt aber etwas "komplexere" Mengen wie z.B.:

C = { {1;2;3} ; {1;2;4}}  und D = {{1;2;5} ; {1;2;6}} bin ich mir an einigen Stellen unsicher:

1. Die Elemente der Mengen C und D sind nun Mengen. Deshalb würde ich sagen, dass C und D disjunkt sind, da sie keine gemeinsamen Elemente (in diesem Fall Mengen) beinhalten?

2. Ergibt es Sinn, sich zu fragen, ob beispielsweise die beiden Elemente von Menge C disjunkt sind?

Die Frage kam in mir auf, da die Elemente ja auch wieder Mengen sind, welche man auf Disjunktheit untersuchen könnte.

Alternativ könnte man argumentieren, dass die Mengen {1;2;3} und {1;2;4} in dieser Situation als Elemente zu betrachten sind, welche nicht gleich sind, da sie beide wiederum nicht alle Elemente gemeinsam haben.

Ich hoffe mein Problem ist nachvollziehbar und würde mich sehr freuen, wenn ich Hilfe bekommen würde.

Answer 1

C = { {1;2;3} ; {1;2;4}}  und D = {{1;2;5} ; {1;2;6}}

1)   C und D haben Mengen als Elemente. Keines davon ist in beiden Mengen vorhanden.

        →  C∩D = { }  →  C und D sind disjunkt.

2)   Da die Elemente von C bzw. D selbst Mengen sind, kann man sie natürlich auch untereinander auf Disjunktkeit überprüfen.

Gruß Wolfgang

Comments

Lieber Wolfgang, dann hänge ich mal eine weitere Frage an (die eigentliche Motivation der ursprünglichen Frage) an:

Betrachtet man in der Stochastik das zweimalige Werfen eines idealen Würfels und beachtet die Reihenfolge nicht.

Dann wäre ja eine Möglichkeit der Definition einer Ergebnismenge: Ω= {{1;2},{1;3}...}.

(Ich weiß, dass mein Problem mit der Definition von Tupeln gelöst wäre, aber ich würde es trotzdem gerne begreifen).

Frage 1: Wenn ich jetzt die folgende Wahrscheinlichkeit berechnen will:

P({1;2}∪{1;3}), dann müsste ich ja eigentlich rechnen: P({1;2}∪{1;3})=P({1;2})+P({1;3}) - P({1;2}∩{1;3}). Aber was wäre P({1;2}∩{1;3})? Intuitiv würde ich sagen, dass {1;2}∩{1;3}={1} gilt. Doch was ist P({1}) ? Hinzu kommt, dass ich aus der Tupelschreibweise des Ergebnisraumes weiß, dass P({1;2}∪{1;3}) = 4/36 sein muss, weshalb P({1;2}∩{1;3})=0 gelten müsste.

Oder spricht man im stochastischem Sinne nicht von Disjunktheit, sondern davon, dass die beiden Ergebnisse nicht gleichzeitig eintreten können ?

Frage 2: Wie würde man in der obigen Modellierung des Ergebnisraumes das Ergebnis (1;1) als Menge schreiben? Einfach {1}?

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Dann wäre ja eine Möglichkeit der Definition einer Ergebnismenge: Ω= {{1;2},{1;3}...}.

Nein, es muss schon Ω= {(1;2),(1;3)...} lauten.

Oder spricht man im stochastischem Sinne nicht von Disjunktheit, sondern davon, dass die beiden Ergebnisse nicht gleichzeitig eintreten können ?

Ergebnisse können nie gleichzeitig eintreten.

Gleichzeitig eintreten können Ereignisse = Teilmengen von Ω.

Ereignisse können dann auch disjunkt sein. Dann nennt man sie "unvereinbar".

Frage 2: Wie würde man in der obigen Modellierung des Ergebnisraumes das Ergebnis (1;1) als Menge schreiben? Einfach {1}?

Gar nicht.  Als Menge schreibt man das Ereignis, das nur das Ergebnis (1;1) enthält:

{ (1;1) }  ( = Elementarereignis)

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Das heisst, man muss die Ergebnismengen von mehrstufigen Zufallsversuchen immer mit Tupeln modellieren?

Oder nur in dem genannten Beispiel?

In deiner Schreibweise { (1;1) } passt dann aber auch, dass zwei Elementarereignisse disjunkt sind, da z.B. A={ (1;1) } und B= { (1;2) } kein Element gemeinsam besitzen und somit der Schnitt leer ist. Das kann ich schon einmal nachvollziehen.

Falls es einen Versuch geben würde, der die obige Ergebnismenge hätte, dann ist mir auch noch ein Fehler aufgefallen:

Ein Elementarereignis wäre ja dann z.B. C= {{1;2}} und D= {{1;3}}

Wenn jetzt P({{1;2}}∪{{1;3}}) berechnet werden soll, dann wäre ja der Schnitt in diesem Falle leer, da die beiden Mengen jeweils ein unterschiedliches Element besitzen?

Ergebnisse können nie gleichzeitig eintreten.

Das heißt, Ergebnisse können nicht gleichzeitig eintreten und deshalb sind Elementarereignisse, die ja jeweils ein Ergebnis als Element besitzen disjunkt. Man spricht nicht davon, dass Ergebnisse disjunkt sind, richtig?

!!

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Man spricht nicht davon, dass Ergebnisse disjunkt sind, richtig?

So ist es.

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Super!

Das heisst, man muss die Ergebnismengen von mehrstufigen Zufallsversuchen immer mit Tupeln modellieren?
Oder nur in dem genannten Beispiel?

Danach gebe ich Ruhe :)!

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Das kommt auf die Fragestellung an, z. B.

Zufallssexperiment: ein idealer Würfel wird 2-mal geworfen:

Eine für alle Fragestellungen geeignete Ergebnismenge mit gleich wahrscheinlichen Elementarereignissen ist

Ω₁  =  { 1, ... 6 }² =  { (1,1) , (1,2) ....  (6,1) ... (6,6) }

Interessiert nur die Augensumme, kann man auch Ω₂  =  { 2, 3, ... 12 } nehmen. Dann sind aber die Elementarereignisse nicht gleich wahrscheinlich und es rechnet sich nicht so einfach. Mit Ω₁ würde dann jedes Element von Ω₂ als Ereignis mit einem oder mehreren Elementen dargestellt: z.B. " Augensumme 4" = { (1,3) , (2,2), (3,1) } ⊂ Ω₁