Interpolationspolynom nach Newton bestimmen

Question

ich soll in der Teilaufgabe das Interpolationspolynom nach Newton bestimmen und danach auch nach Lagrange.

Ist das soweit richtig oder muss ich vorher was machen?

Also das Verfahren an sich ist ja nicht so schwer, nur die Variable b bringt mich hier voll aus dem Konzept.

Answer 1

Das Interpolationsverfahren nach Newton macht keine Vorgaben zur Reihenfolge der Stützpunkte. Wenn Du also die Terme mit \(b\) vermeiden willst, so stelle den Punkt \((1|\, b)\) nach hinten. Die übrigen drei Punkte liegen auf einer Gerade, was dazu führt, dass das \(a_2\) zu \(0\) wird; das vereinfachte das ganze weiter. Die Rechnung sollte dann so aussehen:

$$ \begin{array}{cccc|ccc} &&& x_i & y_i \\ \hline &&& 0 & \colorbox{#FFFF00}{2} \\ &&3 & 3 & 5 & \colorbox{#FFFF00}{$\frac{5-2}{3}$} \\ &4 &1 & 4 & 6 & \frac{6-5}1=1 & \colorbox{#FFFF00}{0} \\ 1 &-2  &-3 & 1 & b & \frac{b-6}{-3} & \frac{6-b-3}{3 \cdot (-2)}=\frac{b-3}{6} & \colorbox{#FFFF00}{$\frac{b-3}{6}$}\end{array}$$

und das Polynom ist dann:

$$\begin{aligned} y(x) &=2 + 1(x-0) + 0 + \frac{b-3}{6}(x-0)(x-3)(x-4) \\  &= \frac{b-3}{6}x^3 - \frac{7(b-3)}{6}x^2 + (2(b-3)+1)x + 2 \end{aligned}$$

anbei drei Graphen mit \(b=\{3, \, 6, \, 9\}\):

~plot~ {0|2};{3|5};{4|6};[[-2|6|-10|15]];x+2;x^3/2-7x^2/2+7x+2;{1|3};{1|6};{1|9};x^3-7x^2+13x+2 ~plot~

Gruß Werner

Comments

Danke das du sogar noch eine Grafik eingefügt hast. Das mit dem verschieben der Punkte, hat es tatsächlich einfacherer gemacht. Soweit bin ich dann auch auf das selbe Ergebnis gekommen. ^^

Answer 2

Da guckt wohl jemand MathePeter... :D (?)

Ist soweit richtig, also kriege das gleiche heraus. Allerdings lässt sich das stark vereinfachen. Z. B. ist:$$\frac{\left(\frac{5-b}{2}\right)-(b-2)}{3-0}=\frac{3-b}{2}$$ Und $$\frac{1-\left(\frac{5-b}{2}\right)}{4-1}=\frac{-3+b}{6}$$ Und jetzt weiter machen:$$\frac{\frac{-3+b}{6}-\frac{3-b}{2}}{4-0}=\frac{-3+b}{6}$$ Jetzt hast du deine \(c_k\) berechnet, nämlich:$$2,(b-2), \frac{-3+b}{6},\frac{-3+b}{6}$$

Comments

Habe tatsächlich das Video von ihm geschaut. :D

Und ich danke dir natürlich, das mit dem vereinfachen ist bei mir immer so ein Krampf.

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Habe tatsächlich das Video von ihm geschaut. :D

Habe ich mir schon gedacht wegen der "besonderen" Vorgehensweise mit diesem Baumdiagramm...