6 Iterationen des Newton-Verfahrens zur Bestimmung der Nullstellen durchführen

Question

Führen Sie jeweils 6 Iterationen des Newton-Verfahrens zur Bestimmung der Nullstellen
von:

$$ f(x) = -\frac{x^4}{8} + \frac{3 \cdot x^2}{4}  + \frac{11}{8} $$

ausgehend von dem Startwert: X₀ = -2

 

Zusatz zur Aufgabe:

Startwerte:  a. X0=4 und b. X0=1

Comments

Bist du sicher, dass du das hier machen musst?

Du kannst ja problemlos x^2 = u substituieren und findest alle Nullstellen schnell via eine quadratische Gleichung? Zudem kannst du auch beurteilen, wie viele überhaupt vorhanden sind.

Am folgenden Graph kannst du schon mal abschätzen, welche Nullstelle du finden wirst.

~plot~ -1/8*x^4 + 3/4*x^2 + 11/8 ~plot~

Answer 1

f(x) = -1/8 x^4 + 3/4 x^2 + 11/8

f '(x) = -1/2 x^3 + 3/2 x

x_n+1 = x_n - (-1/8 x_n^4 + 3/4 x_n^2 + 11/8) / (-1/2 x_n^3 + 3/2 x_n)

x0 = -2
x1 = -35/8
x2 = -3,52
x3 = -3,01
x4 = -2,78
x5 = -2,74
x6 = -2,73

Auch bei weiteren Iterationen ändert sich dieser Wert jetzt nicht mehr.

Jetzt nehmen wir andere Startwerte

x0 = 4
x1 = 3,284
x2 = 2,887
x3 = 2,750
x4 = 2,734
x5 = 2,734
x6 = 2,734

Oder mit dem Startwert 1

x0 = 1
x1 = -1
x2 = 1
x3 = ...

 

Comments

Wie kommt man denn auf die 6 Iterationen ?

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Wo liegen nach diesen Berechnungen (mit einer Genauigkeit von 3 Nachkommastellen) die
Nullstellen von f(x) ?

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@Anonym: Du musst zuerst (-2) rechts in der Formel überall bei x_n einsetzen. 

Rauskommt ein Ergebnis. 

Dann nimmst du dieses Ergebnis und setzt es wieder in der Formel rechts ein.…

So was nennt man Iteration.

Auf folgender Seite kann man sich die Newtonmethode vorrechnen lassen:

https://www.matheretter.de/rechner/polynomgleichung/?a4=-0.125&a2=0.75&a0=1.375