Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen

Question

ich sitze shocn den agnzen abend an der Aufgabe und habe mich total festgefahren. Leider bin ich zu müde, um meine Gehirnblockade aufzuheben. Die Aufgabe lautet:

Die Folge (x_n)_n sei durch das Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen von differenzierbaren Funktionen f : ℝ → ℝ mit Startwert x₀ ∈ ℝ festgelegt, d.h.

$${ x }_{ n+1 }\quad =\quad { x }_{ n }\quad -\quad \frac { f\left( { x }_{ n } \right)  }{ f^{ ' }{ (x }_{ n }) } $$

Zeigen sie, dass das Newton Verfahren für die folgenden Funktionen und Startwerte nicht konvergiert. Veranschaulichen Sie auch diesen Sachverhalt graphisch.

a)  $$f\left( x \right) \quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } ({ x }^{ 3 }\quad +\quad 2)\quad und\quad { x }_{ 0 }=1$$
b)  $$f\left( x \right) \quad =\quad -2{ x }^{ 3 }\quad +\quad 3{ x }^{ 2 }\quad +\quad x\quad -\quad 1\quad und\quad { x }_{ 0 }=1$$

Answer 1

Zu  a) Hier ist f'(x) = x² und sowohl f(1) = 1 als auch f'(1) = 1. Dann ist x₁ = 1 - 1/1 = 0 und x₂ ist nicht mehr endlich. Also konvergiert die Folge nicht für diesen Startwert.

Answer 2

Für a) hast du ja schon eine Antwort.

Wenn du x2 auszurechnen versuchen würdest, wäre das ja

x2 = 0 - (2/3) / 0  aber durch 0 kann man nicht dividieren.

b) x1=1  - 1/1 = 0

x2 =   0 - (-1) / 1 = 1

Und damit ist es abwechselnd immer 0 und 1, konvergiert also auch nicht.

Zeichnung zu a) Die Idee ist ja: Statt der Nullstellen der Funktion bestimmt

man die der Tangente.

1. Tangente hat  y = x-1

2. Tangente (bei x=0) hat die Gleichung y = -1/3 , schneidet also

die x-Achse nicht.

~plot~ (1/3)*(x^3 - 1);x-1;-1/3; ~plot~

Answer 3

Zu (a)
$$ f(x) = \frac{1}{3}(x^3 + 2) $$ D.h. es gilt $$ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$
Für \( x_0 = 1  \) folgt $$ x_1 = 1 - \frac{1}{1} = 0  $$ und weil \( f'(0) = 0 \) kann \( x_2 \) nicht mehr ausgerechnet werden, da hier eine Division durch Null auftritt. Also konvergiert das Verfahren nicht.

zu (b)
Hier gilt $$ f(x) = -6x^2 + 6x + 1  $$ Es folgt $$ x_1 = 1 - \frac{1}{1} = 0 $$ und weiter
$$ x_2 = 0 - \frac{-1}{1} = 1  $$
Damit folgt \( x_3 = 0 \) und \( x_4 = 1 \) und immer so weiter. Also konvergiert diese Folge auch nicht.