Metrische Räume - euklidische Norm - Vollständigkeit

Question

Sei d: \( R^{2} \) ×\( R^{2} \) → R

d(x,y)={||x-y||, falls x und y linear abhängig

            {||x||+||y||, falls x und y linear unabhängig

wobei || · || die euklidische Norm auf \( R^{2} \)  bezeichne.

(a) Zeigen Sie, dass (\( R^{2} \) ,d) ein metrischer Raum ist.
(b) Zeigen Sie, dass (\( R^{2} \) ,d) vollständig ist.

Brauche Hilfe. Vor allem die Sache mit der linearen Abhängigkeit/ Unabhängigkeit verwirrt mich.

Answer 1

Hallo

 das ist die sogenannte französische Eisenbahnnorm.

 Strecken die auf geraden Linien von 0 (Paris) aus liegen  sind direkt verbunden, andere Punkte müssen um von A nach B zu fahren immer über Paris fahren.

du musst nur zeigen wenn d(x,y)=0 dann x=y das ist leicht, und die Dreiecksungleichung , dabei Fallunterscheidung , alle 3 auf einer Geraden durch 0, 2 auf einer Geraden durch 0 und keine 2 auf einer Geraden durch 0.

Gruß lul

Comments

Danke das hat sehr geholfen, hab a) jetzt hinbekommen. Bleibt bloß noch b) :(