Feststellen welche Punktmengen metrische Räume sind

Question

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe und weiß leider nicht wie ich diese bearbeiten soll..

Bin über jede Hilfe dankbar

Text erkannt:

Aufgabe 1 Stellen Sie fest, ob die folgenden nichtleeren Mengen \( M \) mit der jeweiligen auf ihnen definierten Abbildung \( d: M \times M \rightarrow \mathbb{R} \) metrische Punkträume sind:
a) \( M \) beliebig, \( d(x, y)=0 \) für alle \( x, y \in M \).
b) \( M \subset \mathbb{R}, d(x, y)=|x| \) für alle \( x, y \in M \).
c) \( M \subset \mathbb{R}, d(x, y)=\frac{1}{2}|x+y| \) für alle \( x, y \in M . \)
d) \( M \subset \mathbb{R}, d(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}0 & , \text { falls } x=y \\ \max \{x, y\} & , \text { falls } x \neq y\end{array}\right. \)
e) \( M=\{1,2,3\} \)
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline\( d(x, y) \) & \( y=1 \) & \( y=2 \) & \( y=3 \) \\
\hline\( x=1 \) & 0 & 1 & 2 \\
\hline\( x=2 \) & 1 & 0 & 2 \\
\hline\( x=3 \) & 1 & 2 & 0 \\
\hline
\end{tabular}

Answer 1

Zu (a): Überlege, dass dies nur ein metrischer Raum sein kann,

wenn \(M\) höchstens ein Element besitzt.

Zu (b): Wie sieht es hier mit der Symmetrie aus, also \(d(x,y)=d(y,x)\) ?

Ist das für jede Teilmenge \(M\subset R\) gegeben?

Zu (c): Gilt hier allgemein \(d(x,y)=0\Rightarrow x=y\) ?

Betrachte Mengen, die mit einem \(x\) auch \(-x\) enthalten.

Zu (d): Wie sieht das mit der positiven Definitheit aus, wenn

\(M\) mindestens 2 verschiedene negative Zahlen enthält?

Zu (e): Ist \(d\) symmetrisch?

Gib im Falle, dass \(d\) im allgemeinen keine Metrik ist,

jeweils ein Gegenbeispiel an.

Comments

Hallo Ermanus,

vielen Dank für deine Hilfe und deine Zeit! Dank dir konnte ich wenigstens mit dem rechnen anfangen :)

Ich habe es mal ausprobiert für Aufgabe a)-d)

Könntest du vielleicht einmal einen Blick drüber werfen, wenn es nicht zu viel Zeit in Anspruch nimmt? :)

Zu e) habe ich nichts, weil es mich etwas durcheinander bringt das kein z existiert und ich deshalb nicht weiß wie das dann mit der Dreiecksungleichung funktioniert.
Aber generell würde ich sagen das e) auch keine Metrik ist aufgrund der fehlenden Symmetrie für d(3,1)=1 stimmt nicht überein mit d(1,3)=2

Nach meiner Rechnung (sofern alles richtig) denke ich das d) die einzige Metrik ist