Lagebeziehung von Vektoren CN und AM in Pyramide

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine 6m hohe quadratische Pyramide, deren Grundflächenseiten 6m lang sind. Der Punkt M liegt in der Mitte der Seite SC. Die Strecke SA ist 3mal so lang wie die Strecke SN.

Wo schneiden sich die Geraden?

Problem/Ansatz:

A(6|0|0),  C (0|6|0), S (3|3|6)

M:  (Koordinaten S+ Koordinaten C) :2

M(1,5| 4,5|3)

N: (Koordinaten A+ S) :3 •2

N (6|2|4)

Gerade von A zu M :

(6|0|0) +r• (-4,5|4.5|3)

Gerade von C zu N:

(0|6|0) +s• (6|-4|4)

Durch Gleichsetzen komme ich auf r=2/3 und s=1/2, aber das löst die erste Gleichung des Gleichungssystems irgendwie nicht. Ich habe die Lösungen für das Buch- N soll scheinbar (4|2|4) sein, aber woher soll die erste 4 kommen?

Comments

Unklare Aufgabenstellung:

Eine Streckenangabe sagt nix über dei räumliche Lage aus. Welche Geraden?

Exakte Aufgabenstellung nachliefern....

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Sandra hat inzwischen ein Bild der Pyramide hochgeladen und die Frage bearbeitet.

Ist

A(6|0|0),  C (0|6|0), S (3|3|6)

gegeben oder Teil deiner Lösung?

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 Also die Punkte hab ich selbst so gewählt und entsprechend damit weitergerechnet, allerdings stehen diese bis auf N so auch in den Lösungen, nur dass eben kein Lösungsweg dazu angegeben ist.

Answer 1

Mit der Koordinatenwelt von Sandra ergibt sich

M:=(S + C) / 2 = (3 / 2, 9 / 2, 3)

N:=A+2/3 (S-A)  = (4, 2, 4)

g_M(t):x=A + t (M-A)   

g_N(t):x=C + t (N-C)

====>

g_M X g_N: g_M(r) - g_N(s)  = 0

===>

((-9) / 2 r - 4s + 6 = 0, 9 / 2 r + 4s - 6 = 0, 3r - 4s = 0)

===>

{{r = 4 / 5, s = 3 / 5}}

===>

E:=g_M(4/5)=(12 / 5, 18 / 5, 12 / 5)

Comments

Vielen Dank für die Antwort erstmal! Wie kann es sein, dass die Werte für S und R  sowie der Schnittpunkt mit den Werten aus meinen Lösungen (die zum Buch gehörigen) übereinstimmen, der Punkt M aber nicht?

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Wieso bei M stimmen wir überein...

Und was ist R?

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R als Ergebnis beim Gleichsetzen der Geraden. Aber hat sich eigentlich erledigt, ich hab jetzt verstanden,wieso das so berechnet wird. :)

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Gut so - R heisst in meiner Lösung E - viel Erfolg!

Answer 2

Wähle A(0|0|0), B(6|0|0) und C(6|6|0). Dann ist S(3|3|6) und \( \vec{AM} \) =\( \vec{AB} \) +\( \vec{BC} \) +\( \frac{1}{2} \)·\( \vec{CS} \) .Die Gerade durch A und M hat dann die Gleichung \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =k·\( \begin{pmatrix} 10,5\\4,5\\15 \end{pmatrix} \) .

Answer 3

Hier eine Lösung aus meinem Funduns an Lösungen für Bigalke/Köhler

Koordinaten aus der Skizze ablesen. Dabei festlegen das z.B. D der Ursprung ist.
A = [6, 0, 0] ; B = [6, 6, 0] ; C = [0, 6, 0] ; D = [0, 0, 0] ; S = [3, 3, 6]

M = C + 1/2·CS = [0, 6, 0] + 1/2·([3, 3, 6] - [0, 6, 0]) = [1.5, 4.5, 3]
N = A + 2/3·AS = [6, 0, 0] + 2/3·([3, 3, 6] - [6, 0, 0]) = [4, 2, 4]

P = A + r·AM = C + s·CN
P = [6, 0, 0] + r·([1.5, 4.5, 3] - [6, 0, 0]) = [0, 6, 0] + s·([4, 2, 4] - [0, 6, 0]) → r = 4/5 ∧ s = 3/5

P = [6, 0, 0] + 4/5·([1.5, 4.5, 3] - [6, 0, 0]) = [2.4, 3.6, 2.4]