Ganzrationale Funktion dritten Grades durch die Punkte O(0/0), A(1/1), B(2/1), C(-1/2)

Question

Hallo brauche Hlife,

Die Kosten eines Betriebes verlaufen nach einer ganzrationalen Funktion dritten Grades. DIe Funktion geht durch die Punkte O(0/0), A(1/1), B(2/1), C(-1/2). Bestimme die Funktionsgleichung der Kostenfunktion.

Answer 1

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat die allgemeine Gleichung:

y = f ( x ) = a x ³ + b x ² + c x + d

Setzte hier nacheinander für x und y die Koordinaten der vier gegebenen Punkte ein. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem aus 4 Gleichungen mit den Unbekannten a, b, c und d .

Indem du dieses Gleichungssystem löst, erhältst du die Werte der Unbekannten. Diese Werte setzt du in die oben genannte allgemeine Funktionsgleichung ein und erhältst so die konkrete Funktionsgleichung für den vorliegenden Fall.

Answer 2

Die Kosten eines Betriebes verlaufen nach einer ganzrationalen Funktion dritten Grades.

K(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

DIe Funktion geht durch die Punkte O(0/0),

K(0) = 0
d = 0

A(1/1),

K(1) = 1
a + b + c + d = 1

B(2/1),

K(2) = 1
8·a + 4·b + 2·c + d = 1

C(-1/2). 

Was ist das wür ein unsinniger Punkt der Kostenkurve?
K(-1) = 2 
-a + b - c + d = 2

Bestimme die Funktionsgleichung der Kostenfunktion.

Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem. Das solltest du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

d = 0
a + b + c + d = 1
8·a + 4·b + 2·c + d = 1
-a + b - c + d = 2

Kontrolllösung: a = - 2/3 ∧ b = 3/2 ∧ c = 1/6 ∧ d = 0

K(x) = -2/3·x^3 + 3/2·x^2 + 1/6·x + 0

Skizze:

Auch der Verlauf der Kostenfunktion sieht hier verkehrt aus, weil wir ab ca. 1.55 ME fallende Gesamtkosten haben.

Answer 3

  Mein Daddy " leo " sagte auch immer

   " Das kann ich gar nicht mit ansehen. "

      Gerade was Steckbriefaufgaben anlangt. Sieh dir meine Antworten ndoch mal an. Da gibt es echt keinen, der es mit mir aufnehmen kann. Das ist wie beim fußball; ihr braucht erst mal einen Trainer.

   Wenn ich das schon sehe; ein gekoppeltes 4 X 4 LGS ...

   Und für dich hab ich einen Spezialeffekt, auch Marke Eigenbau. Direkt größenwahnsinnig könnte ich da werden

     " Nein; da kommens neet drauf "

   um Karl Valentins Orchesterprobe zu zitieren.

     die entscheidende Beobachtung

     f ( 1 ) = f ( 2 ) = 1   ( 1 )

    Wir gehen jetzt her und definieren ganz frech

     F ( x ) := f ( x ) - 1   ( 2a )

    und - schwupp ! - haben wir uns zwei Nullstellen des Polynoms verschafft :

     F ( x ) = k ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - x3 )    ( 2b )

     Freilich musst du jetzt beachten

         F ( - 1 ) = 1    ( 3a )

        F ( 0 ) = ( - 1 )       ( 3b )

    Jetzt ( 3b ) einsetzen in ( 2b )

   2  k x3 = 1    ( 4 )

    Jetzt ( 3a )

     k ( - 1 - 1 ) ( - 1 - 2 ) ( - 1 - x3 ) = ( 5a )

    = - 6 k ( x3 + 1 ) = 1   ( 5b )

   Jetzt dividieren ( 5b ) / ( 4 ) , um k zu eliminieren.

    3 ( x3 + 1 ) / x3 = ( - 1 )  ( 6a )

   4 x3 + 3 = 0  ===> x3 = ( - 3/4 )     ( 6b )

    und aus ( 4 )

    k = ( - 2/3 )   ( 6c )

   An sich sind wir fertig; das einzige, was uns von der normalen Welt unterscheidet: Klammern auflösen. Ich mach das jetzt eigens noch, weil ich auf die Probe erpicht bin. du kannst das zu Fuß bewerkstelligen oder über Wolfram; aber wozu gibt's eigentlich den Vieta?

   x1 = 1 ; x2 = 2   ( 7a )

      a2 = - ( x1 + x2 + x3 ) = - ( 1 + 2 - 3/4 ) = ( - 9/4 )  ( 7b )

     a0 = - x1 x2 x3 = - 1 * 2 * ( - 3/4 ) = 3/2 ( 7c )

     a1 = ( x1 + x2 ) x3 + x1 x2 = ( 1 + 2 ) * ( - 3/4 ) + 1* 2 = ( - 1/4 )   ( 7d )

    f ( x ) = ( - 2/3 ) ( x ³ - 9/4 x ² - 1/4 x + 3/2 ) + 1 = ( 8a )

    = - 2/3 x ³ + 3/2 x ² + 1/6 x   ( 8b )