Ganzrationale Funktion dritten Grades: Steckbriefaufgaben

Question

a) Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph im Ursprung einen Hochpunkt besitzt und durch die Punkte A (1 | 0 ) und B (2 | 4 ) verläuft.

b) Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in W ( 0 | 3 ) einen Wendepunkt und in T (1 | 1) einen Tiefpunkt hat.

c) Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph symmetrisch zu y-Achse und durch die Punkte A (0|1) , B(1| -1) und C (2|5) verläuft.

d) Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und in H ( 3 | 54 ) einen Hochpunkt hat.

e) Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph im Punkt H ( 0 | 2 ) einen Hochpunkt besitzt und durch den Punkt P ( 2 | 2 ) verläuft. Die Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt P ( 2|2) lautet y = 2x  - 2.

Answer 1

Hallo Kai, 

ich gebe Dir hier ein paar Ansätze, durchrechnen kannst Du die Aufgaben dann selbst :-)

 

a) ganzrationale Funktion 3. Grades hat die allgemeine Gleichung: 

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

f'''(x) = 6a

Der Graph verläuft durch den Ursprung, also

f(0) = a*0³ + b*0² + c*0 + d = 0 => d = 0

Er hat dort einen Hochpunkt, also ist für x = 0 die erste Ableitung = 0

f'(0) = 3a*0² + 2b*0 + c = 0 => c = 0

Er geht durch die Punkte A(1|0)

f(1) = a + b + c + d = 0

und B(2|4)

f(2) = 8a + 4b + 2c + d = 4

Also bleiben, da c und d = 0 sind, noch die beiden Gleichungen

a + b = 0

8a + 4b = 4

a = 1

b = -1

Die Funktion lautet also: 

f(x) = x³ - x²

 

b)

f(0) = 3

f''(0) = 0 | wegen Wendepunktes

f(1) = 1

f'(1) = 0 | wegen Tiefpunktes

 

c)

Ganzrationale Funktion 4. Grades

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d

f''(x) = 12ax² + 6bx + 2c

f'''(x) = 24ax + 6b

f(0) = 1

f(1) = -1

f(2) = 5

Und wegen der Symmetrie zur y-Achse gilt auch

f(-1) = -1

f(-2) = 5

 

d)

f(3) = 54

f'(3) = 0 | wegen Hochpunktes

Und wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung gilt auch

f(-3) = -54

und 

f'(-3) = 0

 

e)

f(0) = 2

f'(0) = 0 | wegen Hochpunktes

f(2) = 2

Die Tangente hat im Punkt P (2|2) den Anstieg 2*2 - 2 = 2, also muss auch die Funktion dort einen Anstieg von 2 haben, also

f'(2) = 2

 

Und jetzt mal los :-)

 

Besten Gruß

Comments

kann das ehrlich nicht, auch wenn deine Erklärung sicherlich hilfreich und richtig ist, kannst du mir b - e) eventuell auch ausführlich wie a erklären?
besten gruß

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Hallo Kai, 

das mache ich gerne für die Aufgabenteile b) und c).

Dann sollte die Vorgehensweise klar geworden sein; versuche dann die d) und e) alleine und melde Dich nochmals, wenn Du konkrete Fragen hast ("ich kann es nicht" ist zu diffus) - ist nicht bös von mir gemeint, aber in der Klassenarbeit bist Du auch auf Dich allein gestellt !!

b)

f(0) = a*0³ + b*0² + c*0 + d = 3 => d = 3

f''(0) = 6a*0 + 2b = 0 => b = 0

f(1) = a*1³ + b*1² + c*1 + d = 1

f'(1) = 3a*1² + 2b*1 + c = 0

a = 1

b = 0

c = -3

d = 3

Die Funktion lautet

f(x) = x³ - 3x + 3

 

c)

Ganzrationale Funktion 4. Grades hat die allgemeine Gleichung

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² +dx + e

f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d

f''(x) = 12ax² + 6bx + 2c

f'''(x) = 24ax + 6b

f(0) = a*0⁴ + b*0³ + c*0² + d*0 + e = 1 => e = 1

f(1) = a + b + c + d + e = -1

f(2) = 16a + 8b + 4c + 2d + e = 5

f(-1) = a - b + c - d + e = -1

f(-2) = 16a - 8b + 4c - 2d + e = 5

a = 1

b = 0

c = -3

d = 0

e = 1

Die gesuchte Funktion lautet

f(x) = x⁴ - 3x² + 1

 

Besten Gruß

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Wie lautet bitte der funktionsansatz bei der Aufgabe d ?

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Eine Funktion 3. Grades hat die allgemeine Form

f(x) = ax³ +bx² +cx + d

Damit könnte man es zur Kontrolle einmal durchrechnen. 

Da die gesuchte Funktion aber punktsymmetrisch zum Ursprung ist, kommen in der Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten von x vor; so vereinfacht sich die allgemeine Form zu

f(x) = ax³ + bx

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Da wohl nicht alle Deine Mühen zu schätzen wissen und den Dank vergessen, zumindest von mir einen Daumen, für die viele Arbeit :).

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@ Unknown:
Herzlichen Dank, das ist sehr nett von Dir!

Ich denke aber, ich bin nicht der Einzige hier, der nach dem Motto "Der Mohr hat seine Schuldigkeit getan, der Mohr kann gehen" abgefertigt wird - es gibt aber auch SEHR nette und dankbare Fragesteller :-)

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Ich weiß es ist schon etwas her,dass diese Frage gestellt wurde,aber ich bin auf diese Seite gestoßen und die Frage hat auch mir sehr weitergeholfen. Ich verstehe nur nicht wie man bei Aufgabe b) auf a=1 und c=-3 kommt.

Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?

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Setze b und d in die beiden unteren Gleichungen ein. Dann hast Du nur noch zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Das sollte kein Problem mehr sein? ;)

Answer 2

a) Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph im Ursprung einen Hochpunkt besitzt und durch die Punkte \(A (1 | 0 ) \)und \(B (2 | 4 )\) verläuft.

\(f(x)=a*x^2*(x-1)\)

\(B (2 | 4 )\)

\(f(2)=4*a(2-1)=4a=4\)  → \(a=1\)

\(f(x)=x^2*(x-1)\)

b) Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in \(W ( 0 | 3 )\) einen Wendepunkt und in \(T (1 | 1)\) einen Tiefpunkt hat.

Ich verschiebe den Graph um 1 Einheit nach unten:

\(W ( 0 | 3 )\)→\(W ´( 0 | 2 )\)      \(T (1 | 1)\)→ \(T´ (1 | 0)\)

\(f(x)=a*(x-1)^2*(x-N)\)

\(W ´( 0 | 2 )\)

\(f(0)=a*(0-1)^2*(0-N)=2\)     →\(a=-\frac{2}{N}\)

Wegen der Punktsymmetrie im Wendepunkt gilt auch \(H´(-1|4)\)

\(f(-1)=-\frac{2}{N}*(-1-1)^2*(-1-N)=4\) → \(-\frac{2}{N}*4*(-1-N)=4\)  →\(\frac{2}{N}*(1+N)=1\)

\(N=-2\) \(a=1\)

\(f(x)=(x-1)^2*(x+2)\)

Nun 1 Einheit nach oben:

\(p(x)=(x-1)^2*(x+2)+1\)