Steckbriefaufgaben: Ganzrationale Funktionen 3. Grades. Wendetangente mit Steigung -24.

Question

1. Die Wendetangente an den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades im Punkt P(0|1) besitzt die Steigung -24. Hoch- und Tiefpunkt der Funktion liegen jeweils zwei Einheiten von der y-Achse entfernt.

Ganzrationale Funktion dritten Grades:

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f'(x)=3ax²+2bx+c

f"(x)=6ax+2b

besitzt im Punkt P(0/1) die Steigung -24 → f(0)=1, f'(0)=-24

Ich komme dann zu folgender Gleichung:

1. d=1

2. c=-24

weiter weiß ich nicht, ich check das mit dem Hoch- und Tiefpunkt nicht.

2.Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades verläuft durch den Punkt P(-2/-4) und besitzt im Ursprung des Koordinatensystems ein relatives Minimum. Die Steigung ihrer Tangente an der Nullstelle x=-1 beträgt 3.

Ganzrationale Funktion vierten Grades:

f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e

f'(x)=4ax³+3bx²+2cx+d

     

verläuft durch den Punkt P(-2/-4) → f(-2)=-4

besitzt im Ursprung → f(0)=0

Steigung an der Nullstelle x=-1 beträgt 3 → f(-1)=0, f'(-1)=3

Ich komme dann zu folgender Gleichung:

1. 16a-8b+4c-2d+e=-4

2. e=0

3. -a-b-c-d+e=0

4. -4a+3b-2c+d=3

Ich verstehe das mit dem relativen Minimum irgendwie nicht. Ist das richtig so?

3. Aufgabe

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades schneidet die x-Achse an der Stelle x=-3, die Tangente in diesem Punkt ist parallel zur Geraden y=-12 1/2+1. Bei x=-4/7 und x=2 hat der Graph Extremstellen.

Also ganzrationale Funktion dritten Grades ist klar :)

Dass der Graph die x-Achse an der Stelle x=-3 die x-Achse schneidet ist auch klar.

Was danach kommt ist mir nicht klar.

4.Aufgabe

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die x-Achse an der Stelle x=3 und die Gerade g(x)=k(x) im Ursprung. Stellen Sie die Funktionsgleichung in Abhängigkeit von k auf.

Ganzrationale Funktion dritten Grades: ...

berührt die x-Achse an der Stelle x=3 → f(3)=0, f'(3)=0

Gleichung

1. 27a+9b+3c+d=0

2. 27a+6b+c=0

...

Weiter komme ich nicht, ich verstehe den Rest überhaupt nicht.

                                                                                   

Answer 1

f ( 0 ) =1
f ' ( 0 ) =-24

sowie Wendepunkt
f ´´( 0 ) = 0

Hoch- und Tiefpunkt der Funktion liegen jeweils zwei Einheiten von der y-Achse entfernt.
f ´ ( 2 ) = 0
f ´( -2 ) = 0

Zur Kontrolle:

f ( x ) = 2*x³ - 24*x +1 

Stell bitte die anderen Aufgaben nocheinmal als eigene Fragen ein. Sonst wird es ein bisschen viel.

Answer 2

4. Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die x-Achse an der Stelle \(x=3\) und die Gerade g(x)=k(x) im Ursprung. Stellen Sie die Funktionsgleichung in Abhängigkeit von k auf.

\(f(x)=a[x(x-3)^2]\)

\(f'(x)=a[(x-3)^2+x \cdot(2x-6) \)

\(f'(0)=a[(0-3)^2=k \)

\(a=\frac{k}{9} \):

\(f(x)=\frac{k}{9}[x(x-3)^2]\)